アルキメデスの業績９ アルキメデスの立体

　Archimedes（アルキメデス）の考えた立体が13種あり、それがアルキメデスの立体(Archimedean Solids)と呼ばれている。
　アルキメデスの立体 (Archimedean solid) とは、凸な一様多面体のうち、正多面体以外のものである。一様多面体の条件は、全ての面が正多角形で、頂点形状が合同（頂点に集まる正多角形の種類と順序が同じ）なことである。正多面体は除外するので、半正多面体の面は2種類以上の正多角形で構成される（左図参照）。
 
　①切頂四面体：正四面体の４つの頂点を切り落とした形になっている。４つの正六角形と、４つの正三角形の合わせて６つの面でできている。頂点の形状（３,６,６）。
　※頂点の形状（３，６，６）とは、１つの頂点に正３角形、正６角形、正６角形が集まって構成されているということである。
　②立方八面体：正八面体の辺の中点を通るような正方形で、６個の頂点を切り落とした形になっている〔立方体から８個の正三角形を切り取ったとも考えられる〕。頂点の形状（３,４,３,４）
　③切頂八面体：正八面体の６個の頂点を切り落とした形になっている。６個の正方形と，８個の正六角形の合わせて14個の面でできている。頂点の形状（4，6，6）
　④切頂立方体：立方体の８個の頂点を切り落とした形になっている。６この正八角形と、８個の正三角形の合わせて14個の面でできている。頂点の形状（３,８,８）
　⑤小菱形立方八面体：作り方は次のようにイメージで出来る。（１）まず立方体の12本の辺を削ぎ落とす。つまり面取りする。この場所が次の（２）の段階で12個の正方形になるのである。（２）元の立方体の8個の頂点があった場所を切り落と。すると8個の正三角形が出来る。（３）以上の切り落としで，元の立方体の6つの正方形がそのまま，大きさだけ小さくなって残る。（４）実際には，後に残る18個の正方形と8個の正三角形の辺の長さが同じになる必要があるので，簡単に切り落としてもきちんとした図形は得られない。18個の正方形と，8個の正三角形の合わせて26個の面がある。頂点の形状（３,４,４,４）
　⑥大菱形立方八面体：作り方は次のようにイメージできる。（1）まず立方体の12本の辺を削ぎ落とす。つまり面取りする。この場所が次の（２）の段階で12個の正方形になるのである。（２）元の立方体の8個の頂点があった場所を切り落として、８個の正六角形を作る。（３）以上の切り落としで、元の立方体の６つの正方形の場所に６個の正八角形が残ることになる。（４）実際には、後に残る12個の正方形と８個の正六角形、６個の正八角形の辺の長さが同じになる必要があるので、簡単に切り落としてもきちんとした図形は得られない。頂点の形状（４,６,８）
　⑦捩れ立方体：作り方は次のようにイメージで出来る。（1）まず立方体の６つの正方形を外側に引っ張り、６つの立方体をそれぞれの中心の周りにまわしてやる。ねじれた６つの正方形の間に隙間ができる。（２）正方形の頂点を適当に３個ずつ選んで結び正三角形を作っていく。６個の正方形と、32個の正三角形の合わせて38個の面がある。頂点の形状（３,３,３,３,４）
　⑧小菱形二十面十二面体：構成は比較的容易である。正十二面体から始め，まず正十二面体の辺をすべてそぎ落とし、正十二面体の20個の頂点の位置に正三角形を、そして30本の辺の位置に正方形が出来るように調整する。実際は正十二面体の辺の１/３の長さの位置で辺をそぎ落とせば出来る。30個の正方形と、20個の正三角形、12個の正五角形の合わせて62個の面で出来ている。面の個数は大菱形二十面十二面体と同じ。頂点の形状（３,４,５,４）
　⑨大菱形二十面十二面体：構成は二十面十二面体の30個の頂点を切り取ったような形であるが、切り取った辺りには長方形しか出来ないのでこの方法では30個の正方形が出来ない。正方形を作るには，正十二面体から始め，まず正十二面体の辺をすべてそぎ落とす。次に元の正十二面体の頂点周りを切り落とす。辺をそぎ落としたり，頂点周りを切り落とす幅を調節して正方形、正六角形、正十角形を作るのである。30個の正方形と、20個の正六角形、12個の正十角形の合わせて62個の面で出来ている。頂点の形状（４,６,10）
⑩切頂二十面体：構成は他の切頂四面体や切頂立方体、切頂十二面体などと同様に頂点を切り落とすだけなのでイメージしやすい。正二十面体の12個の頂点を切り落とした形に鳴っている。20個の正六角形と、12個の正五角形の合わせて32個の面でできている。頂点の形状は（５,６,６）
　これは、実はあの有名なサッカーボールなのである。サッカーボールといっても古典的なもので、例の白い六角形と黒い五角形のもので〔左の写真左〕、1960年代以来親しまれているものである。ワールドカップでは，アディダス社が1970年のメキシコ大会から提供した者で､テルスター(Telstar) というブランド名での生産だったとされている。切頂二十面体をもとにしたデザインであり，つまり正二十面体がその最も基礎の図形です。他方，最近のワールドカップや大きな大会では違ったデザインのものが使用されているようです〔左の写真の右〕。2006年のワールドカップ・ドイツ大会以来用いられているということである。アディダス社の提供球で､+Teamgeist (プラスティームガイスト)というブランド名のボールだそうである。これはどうも見た目切頂二十面体の観点からは，ちょっと違和感を感じてしまう。
⑪切頂十二面体：構成は他の切頂四面体や切頂立方体などと同様に頂点を切り落とすだけなのでイメージしやすい。正十二面体の20個の頂点を切り落とした形になっている。12個の正十角形と，20個の正三角形の合わせて32個の面でできている。頂点の形状（３,10,10）
⑫二十面十二面体：構成は切頂十二面体や切頂二十面体と似ている。まず正十二面体のそれぞれの辺の中点を結んで正三角形を20個作れば出来る。または正二十面体のそれぞれの辺の中点を結んでできた正五角形で頂点を切っていけば出来上がる。20個の正三角形と，12個の正五角形の合わせて32個の面で出来ている。頂点の形状（３,５,３,５）
⑬捩れ十二面体：正十二面体から始め､先ず正十二面体の各面を縮小して辺が約0.56倍になるようにする。次にそれぞれの正五角形をその中心の回りに約13°回転してやる。出来上がった正五角形の頂点を正三角形ができるように結べば出来上がる。
　正十二面体と､小菱形二十面十二面体、それに捩れ十二面体の図を並べて見ると分かりやすいかと思う（左図参照）。12個の正五角形と、80個の正三角形の合わせて92個の面で出来ている。頂点の形状（３,３,３,３,５）