アポロニウス４

　アポロニウスの問題 (Apollonius' problem) は、平面上の任意の ３ つの円に正接する円を作図するというユークリッド平面幾何学における難問として有名である。Perga[ペルガ、トルコ南部の都市]のApollonius（アポロニウス）が、自著の『接触』 (“Tangencies”)２巻で提起し、解決した有名な問題という。この著作自体は失われたが、その解法を示した、4 世紀のAlexandria（アレキサンドリア）のPappus (パップス、AD320年ごろ) の記録が残っているという。
　問題は『接触』の中で、次のように表現されていたという。「３つのものが与えられていて、その各々は点、直線、円のいずれかである。与えられたものが点のときには、その点を通る円、与えられたものが直線または円のときは、それに接する、という条件を満足する円を描け」というものである。
　これは１つの表現で、色々な場合うを含ませているので、判りにくいが、たとえば、点、直線、円が与えられているときは、その点を通り、その直線と円に接する円を描けという問題になる。また、２点と１直線の組み合わせの時は、２点を通ってその直線に接する円を描けという問題になる。
　三つのものの与え方には10の異なる場合がある。
（１）３点、（２）３直線、（３）２点と１直線、（４）２直線と１点、（５）２点と１円、
（６）２円と１点、（７）２直線と１円、（８）２円と１直線、（９）１点と１直線と１円、（10）３円　
の10通りがある。このうち、（１）は３点を通る円、（２）は３直線に接する円で、これらはEukleides（エウクレイデス）の『原論』ですでに扱われている。(３)、（４）、（５）、（６）、（８）、（９）の六つは『接触』の第１巻で扱われ、（７）すなわち２直線と円の場合と、（10）３円の場合は『接触』の第２巻の全てを占めているという。
　アポロニウスの問題は元来、上の10個の場合の全部を含むものであるが、通常は狭義の意味で最後の（10）を指す。いやはや、（10）の場合、すなわち３円に接する円ににしても、左図に示すように、これだけでも８通りの場合があるのである。
これらの 8 つの円は、おのおの与えられた 3 つの円と互いに異なる方法で内接または外接する。 Francois Viete (フランソワ・ビエト、1540～1603年、フランスの法律家、数学者) はこれに極限値を用い、与えられた ３つの円のいずれかを半径ゼロ (即ち、「点」) まで縮小し、または半径無限大 (「直線」) に拡大する解法を考え出した。単純化した例を用いて複雑な問題を解決するViete（ビエト）の解法は、Apollonius（アポロニウス）を再構成したものとして妥当であるとされている。