アポロニウス３

 　円錐を１つの平面で切って得られる曲線を総称して円錐曲線と呼ぶが、この円錐曲線に関するApollonios（アポロニウス）の研究は詳細を極め、Apolloniosは円錐曲線の重要な性質のほとんどを知っていたらしい。たとえば、昨日のブログで定義された楕円は、２つの定点からの距離の和が一定な点の軌跡であることは次のようにして説明されている。
　いま、１つの直円錐を１つの平面で切ってその切り口に楕円が得られている場合、この直円錐に内接して、しかもこの切り口にも接する球を考えれば、その様な球は２つある。これらの球と、切り口との接点を左図のようにそれぞれＦ、Ｆ’とする。これらの球は直円錐とそれぞれ１つの円に沿って接している。
　今楕円上に勝手な１点Ｐを取り、直円錐の頂点Ｓと点Ｐを結ぶ直線がこれらの円と交わる点をそれぞれＡ、Ｂとすれば、PFとPAとは、共に１点Ｐから１つの球に引いた接線の長さであるから、その長さは等しく、
　PF＝PA ……　（１）
　また、PF’とPBとも、ともに１点Ｐから１つの球へ引いた接線の長さであるから、その長さは等しく、
　PF’＝PB ……　（２）
　（１）と（２）の辺々を加えれば、　PF＋PF’＝AB
　ところが、ABの長さはＰを楕円状のどこにとっても一定である。したがって、楕円上の任意の1点Ｐから、２つの定点Ｆ、Ｆ’にいたる距離の和はいつも一定である。
 
　なお、Apollonios（アポロニウス）は２つの定点ＡとＢにいたる距離の比が一定値 ｍ：ｎ であるような点Ｐの軌跡を研究した。
　いま、∠APB を２等分する直線が直線ABと交わる点をＣとすれば、Ｃは線分ABを ｍ：ｎ に内分する点である。したがって、点Ｃは定点である。
　また、∠APBの外角を２等分する直線が直線ABと交わる点をＤとすれば、Ｄは線分ABを ｍ：ｎ に外分する点である。したがって、点Ｄも定点である。
　ところで、上の作図に拠れば、∠CPDは直角である。したがって、点Ｐは一定の線分CDを直径とする一定の円周上にある。
　この円は｢Apollonios（アポロニウス）の円｣と呼ばれている。高校の幾何で習った方もいらっしゃると思う。