アポロニウス５

　昨日のブログで述べたApolloniusの問題のViete（ビエト）の解法とは異なるが、Pappus〔パップス、４世紀頃活躍した、Alexandria生まれのエジプトの数学者〕によって与えられた左の補題を用いて、Apolloniusの解と思われるものを復元することができる。これは古代の解析と総合の典型的な例として興味がある。
 
　半径ｒ₁、ｒ₂、ｒ₃の３定円Ｏ₁、Ｏ₂、Ｏ₃に接する円Ｏがあったとして、それらの接点をＰ、Ｑ、Ｒとする。
Ｏ、Ｑ、Ｏ₂；Ｏ、Ｒ、Ｏ₃は、それぞれ１直線上にある。QRと円Ｏ₃の第２の交点をＳとする。
　以下、左図を参照
 

　よって、Ｄは定点である。円Ｏ₃について考えてみると、三角形RTSはこれに内接する三角形で、RS、RT、STはそれぞれ定点Ｃ₁、Ｃ₂、Ｄを通り、これらは１直線上にある。したがってPappusの補題によって、この三角形は作図でき、したがって円Ｏも作図できる。