ピタゴラスの業績 ５

12.平面を合同な多角形で埋め尽くすことを考えた。

　ピタゴラス学派の人々は多角形の内角・外角について考え、これを用いて、平面は合同な三角形、正四角形(正方形)、正六角形を用いた時にのみ多い尽くすことが出来ることを証明した。

※平面充填（へいめんじゅうてん）とは、平面内を有限種類の平面図形（タイル）で隙間なく敷き詰める操作である。敷き詰めたタイルからなる平面全体を平面充填形という。平面敷き詰め、タイル貼り、タイリング (tiling) 、テセレーション (tessellation) ともいう。
　全ての平行四辺形は、1種類で平面充填可能である。また全ての三角形は、合同なものを2つ組み合わせることで平行四辺形となる。従って、全ての三角形は平面充填可能である。また、全ての合同な平行六辺形（３組の対辺が平行で等しい六角形）は平面敷き詰め可能である。また、平行四辺形以外の全ての四角形は、合同なものを二つ組み合わせることで平行六辺形となる。従って、全ての四角形は平面敷き詰め可能なのである。
 
13.正多面体は５種類しかないことを証明した。
　regular polyhedron〔レギュラー　ポリヘドラン、正多面体〕またはPlatonic solid（プラトン　ソリッド、プラトンの立体）とは、すべての面が同一の正多角形で構成され、かつすべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体のことである。ピタゴラス学派の人たちは、正多面体は正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五種類しかないことを証明した。
　三次元空間の中に一つの頂点を取り、その周りに取ることが可能な正多角形に関する制限から、正多面体が先に示したより五種類のみであることが証明できる。

※正多面体は、適切に頂点を選ぶことで別の正多面体を作ることができる。代表的なものは各面の中心を結ぶという操作で、正二十面体 ↔ 正十二面体 　正六面体 ↔ 正八面体 　正四面体 ↔ 正四面体
の様に作ることが出来る。これらの関係を双対という。このうち正四面体は正四面体自身になる（自己双対）。
　ほかには、正六面体の1つおきの頂点 → 正四面体 　正十二面体の適当な頂点 → 正四面体、正六面体
正四面体の各辺の中点 → 正八面体 　正八面体の各辺を黄金分割して結ぶ → 正二十面体 　などがある。　ピタゴラス学派の人々は多角形の内角・外角について考え、これを用いて、平面は合同な三角形、正四角形(正方形)、正六角形を用いた時にのみ覆い尽くすことが出来ることを証明した。