ピタゴラス学派の業績３

７．無理数を見つけた。
　ピタゴラスは「万物は数である」という哲学を持っていた。当時の数といえば、整数や整数の比でとらえられる分数（有理数）までであった。ところが、直角２等辺三角形にピタゴラスの定理を適用すると、１辺１の正方形の対角線の長さは√２になるのである。自ら発見した定理の中に、整数や分数で表せない数（無理数）を発見したのだから、これはビックリ仰天!!　ピタゴラスの哲学が根底から崩れてしまう一大事ということで、√２などの無理数の存在は教団の秘密にされてしまったということである。
　ピタゴラス本人は、線分は極小の点の有限個の集合であると考えたため、更には学派の根本理論である調和を乱す存在とし、無理数の存在をピタゴラス本人は、線分は極小の点の有限個の集合であると考えたため、更には学派の根本理論である調和を乱す存在とし、無理数の存在をアルヘトス（語られざるもの）と呼び否定していた。無理数の存在を否定するがあまり、無理数を口外した弟子Hippasus(ヒッパソス)を溺死させたとの逸話も残っている。
　※メタポンティオンのHippasus〔ヒッパソス、生没年不明〕は、紀元前500年頃のマグナ・グラエキアに住む古代ギリシャの哲学者。ピタゴラスの弟子であり、無理数の存在を発見した。また２の平方根が無理数であることも発見している。ヒッパソスによる発見までは、ピタゴラスは全ての数は整数の比で表せると説いていた。ヒッパソスの発見は妥当であったにもかかわらず、ピタゴラスは初めそれを異端宗教のように取り扱い、彼らはヒパソスを追放、もしくは殺害した。伝説によると、ヒパソスは船上で無理数を発見し、ピタゴラスの弟子たちは彼をそのまま船外に投げ出したと伝えられている。彼はまた音響学や共鳴に関する実験を初めて行ったことでも知られているという。
 
８．三角形の内角の和が２直角であることを証明した。

　三角形の内角の和が２直角に等しいことはThales(タレス)も知っていたといわれるが、一つの頂点を通って対辺に平行線をひき、錯角の性質によって３つの内角を１ヵ所に集め、これによって、三角形の内角の和がつねに２直角であることを証明したのはピタゴラス学派が最初であるといわれる。
 
９．三平方の定理を証明した。
　三平方の定理とは、直角三角形の斜辺の長さを c とし、その他の辺の長さを a, b とした時
　　　ａ+ ｂ²＝c² 　なる関係が成立するという定理である。
　この定理は「ピタゴラスの定理」とも呼ばれ、「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が知られているものの、この定理はピタゴラスが発見したわけではない。古代エジプトなどでもこの定理やピタゴラス数について知られていた。なぜピタゴラスの名を冠すようになり、ピタゴラスが発見者と伝えられたのか、詳しいことはよく分かっていない。
　この定理には数百通りもの異なる証明が知られているが、ピタゴラス学派自身による証明は伝えられていない。