ピタゴラス学派の業績２

 ５．ピタゴラス数が無限に多くあることを証明した。
　ａ²＋b²＝c² を満たす自然数の組 (a，b，c) を「ピタゴラス数」という。特に、a，b，cが互いに素であるピタゴラス数 (a，b，c) をprimitive（プリマティヴ、原始的）素、あるいは原始ピタゴラス数などという。全てのピタゴラス数は、原始ピタゴラス数の正の整数倍により得られる。ピタゴラス数 (a，b，c) が原始的であるためには、３つのうち２つが互いに素であることが必要十分である。ピタゴラス学派の人々はピタゴラス数が無限に多くあることを証明した。その証明は次のようなものであったという。
　１から連続した奇数の総和は平方数になるから、
　1＋3＋5＋7＝４²　　1＋3＋5＋7＋9＝5²　であるから　4²＋9＝5²
すなわち、　4²＋3²＝5²　従って４，３，５は一組のピタゴラス数である。
同様にして、　1＋3＋……＋23＝12²　　1＋3＋……＋23＋25＝13²
　∴　12²＋25＝13²　12²＋5²＝13²　　すなわち　12，5，13も一組のピタゴラス数である。
　さらに、1＋３＋……＋47＝24²　　1＋３＋……＋47＋49＝25²
　∴　24²＋49＝25²　24²＋７²＝25²　　すなわち24，７，25も一組のピタゴラス数である。
　これらの方法は限りなく続けることが出来るから、ピタゴラス数は限りなく存在する。
 
　自然数の組 (a, b, c) が原始ピタゴラス数であるためには、
ある自然数 m, n（m と n は互いに素，m ＞ n, m− n は奇数） をとると
(a, b, c) ＝ (m²− n², 2mn, m²＋n²) or (2mn, m²− n², m²＋n²)
であることが必要十分である。上記の (m,n) は無数に存在し、2mn はダブらないから、原始ピタゴラス数は無数に存在する。これにより原始ピタゴラス数をモレ・ダブリなく見つけ出すことができる。
例えば、m ＝ 2, n ＝ 1 のとき (a, b, c) = (3, 4, 5)、m ＝ 3, n ＝ 2 のとき
 (a, b, c) ＝ (5, 12, 13)、m ＝ 4, n ＝ 1 のとき (a, b, c) ＝ (8, 15, 17) である。
 
６．等差、等比、調和数列を研究した。
　ピタゴラス学派の人々は、３つの数ａ，ｂ，ｃが、
　ａ－ｂ＝ｂ－ｃ　を満足すれば、ａ，ｂ，ｃは等差数列であり、
　ａ：ｂ＝ｂ：ｃ　を満足すれば、ａ，ｂ，ｃは等比数列であり、
　（ａ－ｂ）：（ｂ－ｃ）＝ａ：ｃ　を満足すれば、調和数列であると言った。
　３つの数ａ，ｂ，ｃが調和数列であるということは、その逆数1/ａ，1/ｂ，1/ｃが等差数列であるというのと同じである。
　※harmonic sequence(ハーモニック　シークエンス)〔調和数列（ちょうわすうれつ、harmonic progression(ハーモニック　プログレッション)ともいう）とは、各項の逆数を取ると等差数列となる数列である。ピタゴラス音律では、ドの弦の長さを 1 とすると、ソは 2/3、1オクターブ高いドは 1/2 の長さになる。1, 2/3, 1/2 の逆数を取ると、１, 3/2, ２ となり、公差が 1/2 の等差数列となる。よって、１, 2/3, 1/2 は調和数列である。これらの音はよく調和することから、調和数列と呼ばれるようになったという説がある。