アルキメデスの業績７ arbelos（アルベロス）

　円の性質について15の提議が書かれたArchimedes（アルキメデス）の『補助定理集』(Book of Lemmas) は、アラブ語で書かれた写しが知られている。ここには、arbelos（アルベロス）の研究があるという。
 
　まず、線分ABを直径とする半円γを描き、次に線分AB上に点Ｃをとり、線分ACおよび線分BCを直径とする半円α、βを同じ側に描く。これらの3つの半円α、β、γで囲まれる図形がarbelos（アルベロス）といわれている図形である。すなわち、１つの半円γのなかに、２つの半円α、βをちょうど接するように描かれたもので、その３つの半円の円弧で囲まれた図形をarbelos（アルベロス）と呼ばれている。その形が古代ギリシャで使われていたらしい「靴屋のナイフ」（ギリシャ語でアルベロス）に似ていたことから、Archimedes（アルキメデス）が名付けたものだといわれている。
　このアルベロス図形は、さまざまに面白い性質を持っていて、そのために、昔から多くの人が関心を寄せ、いまなお世界各地で研究され、研究は進化しつづけているという。Arbelos（アルベロス）というのは、古代ギリシアのArchimedes（アルキメデス）の頃から多くの数学者たちを魅了し、日本の和算家たちにも取上げられ、なお現在もホットな研究が続けられている平面図形であるという。
 
　左図に示すように、アルベロスの面積は容易に求められ、この値は、驚くべきことに、図の垂線ＣＤを直径とする円の面積に等しくなるのである。（左図参照）
　さらに、左図のように半円Ａ、Ｂの共通接線の接点を結ぶ線分ＥＦと線分ＣＤを対角線にもつ四角形CFDEを作ると、四角形CFDEは長方形になるという美しい性質がある。（左図の証明参照）

　このアルベロス図形は，さまざまに面白い性質をもつが、なかでも，アルキメデスの双子の円と呼ばれる問題が有名である。左図で半円内の大きい方の円の半径をa、小さい方の円の半径をb とし、円内の２つの半円の交点を通る半円に垂直な線CHを引くと、その直線と内円と外円に接している円の半径はともに、ab/(a＋b)という式で表されることも知られている。