アルキメデスの業績４ 取り尽し法

 　Archimedes（アルキメデス）が図形の求積に使った方法はとりつくし法である。この方法はEudoxos〔ユードクソス、BC408？～355年、古代ギリシアの数学者、天文学者〕が発見したものといわれている。図形に内接する一連の多角形を描き、それらの面積を元の図形に収斂させる方法である。列を正しく構築すれば、ｎ角形の面積と元の図形の面積の差は n が大きくなるにつれて小さくなっていく。この差を恣意的に小さくすれば、その図形の面積は一連の数列で得られる面積によって「取り尽くされ」、とりうる値の下限が体系的に定まる。
　Eukleides（エウクレイデス、英語: Euclid《ユークリッド》）は『原論』第12巻で取り尽くし法を用いて以下の6個の命題を証明している。
命題２：円の面積は直径の2乗に比例する。
命題５：相等しい高さの三角錐の体積は互いに底面の三角形の面積に比例する。
命題10：円錐の体積は同じ底面と同じ高さを持つ円柱の体積の３分の1である。
命題11：同じ高さの円錐または円柱の体積はそれぞれ互いに底面の面積に比例する。
命題12：相似な円錐または円柱の体積はそれぞれ互いに底面の直径の３乗に比例する。
命題18：球の体積は直径の3乗に比例する。
 
　Archimedesは、取り尽くし法を使って円の面積を計算した。円に多角形を内接させ、その多角形の辺の数を増やしていったのである。この多角形の面積を円の半径を1辺とする正方形の面積で割ると、その商は辺の数を増やすにつれてπに近づく。このことから半径 r の円の面積が πr² であることを証明し、πは円周と直径の比率と定義した。付随して、①円の面積とその直径上に作った正方形の面積の比は 11:14 であり、円周の長さと96角形の内接多角形と外接多角形の外周の長さから、223／71 < π < 22／7 という式を導き出した。この計算に際して、Archimedesは不等式　265／153＜√3＜1351／780 を利用したという。
　Archimedesは取り尽くし法を使い、他にも以下のような結果を得ている。
１。直線と放物線に囲まれた部分の面積は、その直線の線分を底辺として放物線に内接して高さが最大の三角形の面積の4／3である。 (図「放物線の面積」参照)


2。楕円の面積は、その長軸と短軸と同じ長さの辺で囲まれる長方形の面積に比例する。
３。球の体積は、底面の円がその球の半径と等しく、高さも球の半径と等しい円錐の体積の4倍である。（図｢球の求積｣参照）
４。高さと直径が等しい円柱の体積は、同じ直径の球の体積の3／2である。 (図「球の求積」参照)
５。螺旋と直線で囲まれた部分の面積は、その線分と同じ直径の円の面積の1／3である。 （前述：昨日のブログ）
Archimedesは取り尽くし法を幾何級数の評価にも利用したという。