7という数に関連して

“142857”という一見何の規則性もない数字が、ある面白い法則をもっています。
　実は、この数字”142857″は循環する数として知られているのです。
　“142857”のもつ様々な不思議な現象を紹介しましょう。
　“142857”に一桁の数字を掛けてみましょう。1から6までの数を掛けた値を下に示します。
　　　142857×1=142857
　　　142857×2=285714
　　　142857×3=428571
　　　142857×4=571428
　　　142857×5=714285
　　　142857×6=857142
　答えを見てみましょう。一見、何の規則性もなさそうですが、良く見るとすべて同じ数字、同じ順番で数字が並んでいます。数字が循環しているのです。
　違うのは、どの数字から始まっているかですね。
　わかりにくい場合は、“1”がどの位置から始まっているかを探せばよいでしょう。
　例えば、当然1を掛けた場合の答えは“142857”であり、次に５を掛けた場合は一つだけ1の位置が右にずれて“714285”となっています。さらに1が右にずれたものが掛ける4の場合ですね。
　このように、“142857”に一桁の数を掛けることで数字が循環する答えを作ることができます。
　上では６までを“142857”に掛けましたが、７を掛けてみましょう。すると、
　　　142857×7=999999
と9だけの答えとなるのです。これも美しいですね。
　142857は“7”と密接な関係があります。まずは、１を７で割ってみてください。
　　　1÷7=0.142857142857⋯
　答えの小数点以下の数字に注目です。なんと、“142857”の繰り返しになっています。
　次に、２から６までの数を“７”で割った結果を示しましょう。
　　　1÷7=0.142857142857⋯
　　　2÷7=0.285714285714⋯
　　　3÷7=0.428571428571⋯
　　　4÷7=0.571428571428
　　　5÷7=0.714285714285⋯
　　　6÷7=0.857142857142⋯
　こちらも数字が循環していることがわかると思います。
　142857は”9″が連続した数を作り出すことも得意です。
　すでに述べたように、142857に7を掛けると、
　　　142857×7=999999
となることを紹介しましたが、それ以外にも連続した9を作り出す方法があります。
　まず、142857を二桁ずつに分けてください。
　　　142857 → 14 28 57
　そして、これらの分割した数を足します。
　　　14+28+57=99
となり、99が出てきました。
　三桁ずつに分けた場合もやってみましょう。
　　　142857 → 142 857
　これらの数を足します。
　　　142+857=999
　今度は9が三つ連続した答えが出てきました。
　まとめると、
　　　142857×7=999999
　　　14+28+57=99
　　　142+857=999
となります。
　最後に、同じ数に戻ってくる面白い性質を紹介します。
　まず、142857を二乗してください。
　　　142857²=142857×142857=20408122449
となります。
※これは桁が多すぎて通常の電卓では計算できないかもしれません。
　出てきた答え”20408122449″を五桁と六桁に分解します。
　　　20408122449 → 20408 122449
　そして、この二つの数を足してみましょう。
　　　20408+122449=142857
　なんと、142857へ戻ってきました。これはなんとも不思議ですね。
　このような性質を持つ数を”カプレカ数”と呼びます。