ウマル ハイヤームの業績２ 数学における業績

　イランのNishapur（ニーシャープール）にあるハイヤーム廟〔左図参照〕からでも判るとおり、Omar Khayyám（ウマル・ハイヤーム）は、存命中から数学者としても著名であり、放物線と円のあいだの交点によって三次方程式を解く方法を考案したことで広く知られていた。
　Omar（ウマル）が試みた解法のアプローチは、彼以前にすでに、古代ギリシアの数学者であり、アレクサンドロス大王の教師で「数学に王道はない」と述べたとも伝わっているMenaechmus〔メナイクモス、BC380～320年〕などによって試みられていたというが、Omar Khayyám（ウマル・ハイヤーム）はこの方法を発展させて一般化し、三次方程式一般の解法を提示した（左図参照）。更にハイヤームは、二項展開を発見し、Eukleides（エウクレイデス）の平行線の理論に対する批判書を著し、これは欧州に伝わり、結果的に非ユークリッド幾何学の発展に寄与した。
　Omar Khayyám（ウマル・ハイヤーム）の数学上の貢献は広範囲にわたっている。彼の多くの著作は1070年代に書かれたと考えられている。この中には『代数とw'almuqabala(アルムカバラ)の証明について』『算術の困難』などとともに『代数の解法』『代数学者』さらにユークリッドのStoikheia〔ストイケア、原論〕の注解がある。
　当時、代数や算術の間には正確な区別がなく、既知数の関係から未知数を求めるのがこれらの分野の仕事と考えられていた。Omar Khayyám（ウマル・ハイヤーム）は代数についての著作の中で、代数方程式の解法だけを取り上げた。

　Omar Khayyám（ウマル・ハイヤーム）は方程式の分類、根の幾何的作図、正根の存在範囲などについて研究した。方程式の分類では、べき指数と方程式の両辺に出てくる項の個数に注目して25種の型に分けたという。２次方程式の研究では、ほとんど新しいことを含んでいないが、３次方程式ではこれを解く努力をしている。彼は次元の原理をよく守り、これを解いた（左図参照）。
　Omar Khayyám（ウマル・ハイヤーム）は３次方程式の解法を発見こそしなかったが、後の世の人がこの解放を見つけるだろうと書いている。　Omar Khayyám（ウマル・ハイヤーム）の死後もイスラム諸国の数学者は３次、４次の方程式の幾何学的解放をくわしく研究したが、一般的解法は発見できなかった。16世紀になって、イタリアの数学Scipione del Ferro〔シピオーネ・デル・フェッロ、1465～1526年〕やNiccolò Fontana Tartaglia〔ニコロ・フォンタナ・タルタリア、1499年または1500年～1557年〕によって一般的解法が見つけられた。
　Omar Khayyám（ウマル・ハイヤーム）は羃が自然数の時の２項展開〔左図参照〕を知っていた。このことは彼の書いたいくつかの著作から判るのであるが、元の著作は失われていてまだ発見されていない。
　Omar Khayyám（ウマル・ハイヤーム）の著作は、いずれもみな、式を言葉で表し、最初にはアラーの神に捧げる言葉から始っている。
　Omar Khayyám（ウマル・ハイヤーム）の幾何学の研究は、彼のEukleides（エウクレイデス）の注釈に述べられているが、そこには比の理論、連続性、平行線の問題などが取り上げられている。イスラム諸国での平行線の研究は『Stoicheia（ストイケア）』がアラビア語に訳されてから盛んになった。