桂馬跳びパズル ２

 　左の図のようなマス目を紙に描いて、点のところに碁石かおはじきを置いて石とし、この石を桂馬跳びで拾いつくしてみよう。ここに挙げた問題は、いずれも終点から出発点に戻ることが出来る。この問題は1941年ごろ、日本人によって考案されたものだという。

 
　もうひとつ、ソリティア盤に1ヵ所だけを空けて、残り全部の目に石を置き、これを全部広い尽くしてみよう。左の図は、空所を中央に置いた場合と、端に置いた場合との解答である。空所をどこにおいても周遊できるのだろうか。
 

　動き方を検討するのに、先にやったようなルート図を作るとよさそうであるが、これがなかなかの難事業で、左のようにソリテア盤に番号をつけて、ルート図を作ってみると、複雑なものになってしまう。

 

桂馬跳びパズル １

　チェス（西洋将棋）にナイト（騎士）というコマがあり、馬の首を象ったものもの（左図参照）である。12世紀頃に作られた古いコマでは、馬に跨った騎士の形をしていたが、後世になって騎士が省略されたものらしい。
　ナイトの動きはいわゆる「桂馬跳び」で、日本将棋の桂馬のように２コマ先の隣へ一気に飛ぶことができる。桂馬より行動が自由で、前方ばかりでなく、四方八方に跳べるのである（左図）。このナイトがチェス盤のすべてのマス目を１回ずつ訪問する周遊の問題は、古くから多くのパズル愛好家が手がけてきたという。
　マス目が２×２の盤では、ナイトの周遊はできないのは当たり前であるが、３×３の盤でも無理なのである。中央の目にナイトがいたとすると、他のどの目にも行きようがない。逆に中央の目にはどこからも生けないということである。ただ中央が「目ではなく中空」と解釈すれば、周遊が出来、しかも終点から出発点まで、戻ることも出来るのである（左図）。
 
　左図のような４×４の盤では、４隅（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）から桂馬跳びで出たり、逆にここに入ったり出来る目は、中央のａ、ｂ、ｃ、ｄの４マスだけである。周遊して元の場所に戻ってくる場合には、どの目にも往路と復路の２本が必要であるから、隅と連絡できる目は全部で８個が必要となる。それが４個ではどうしようもない。元に戻らなくてもよければ出発点には復路が、終着点には往路が不要であるから、目は６個でよいのだが、４×４の盤ではどうにもならない。
 
　ところが、３×４の盤でなら、周遊できるのである。この場合跳び移れる関係を整理すると、左図のようになる。この図を使えば、簡単に周遊コースが見つかる。コースは次ぎのように16通りあることになる。ただし、元のところへ戻ることは出来ない。
（１）　１→７→９→２→８→10→３→５→11→４→６→12
（２）　１→７→９→２→８→10→３→12→６→４→11→５
（３）　９→７→１→10→８→２→11→５→３→12→６→４
（４）　９→７→１→10→８→２→11→４→６→12→３→５
（５）　８→10→１→７→９→２→11→４→６→12→３→５
（６）　８→２→９→７→１→10→３→12→６→４→11→５
（７）　５→３→12→６→４→11→２→９→７→１→10→８
（８）　５→11→４→６→12→３→10→１→７→９→２→８
（９）　５→11→４→６→12→３→10→８→２→９→７→１
（10）　５→３→12→６→４→11→２→８→10→１→７→９
（11）　12→６→４→11→３→５→10→８→２→９→７→１
（12）　12→６→４→11→５→３→10→１→７→９→２→８
（13）　４→６→12→３→５→11→２→８→10→１→７→９
（14）　４→６→12→３→５→11→２→９→７→１→10→８
（15）　８→２→９→７→１→10→３→５→11→４→６→12
（16）　８→10→１→７→９→２→11→５→３→12→６→４
 
　５×５の盤でも３×４と同じ要領で左のようなルート図が作れる。これを見れば、周遊のコースがすぐに見つかる。例えば、1から出発して、８→５→14→25→……→12と外枠を1周し、中枠に移って19→10→３→６→……→22と回り、最後に13に行けば完了である。
 
　５×５のように目の数が奇数の盤では、終点から元の位置に戻ることは出来ないのである。この理由はチェス盤を１つおきに黒の色を塗って市松模様にすると、ナイトは１つ跳ぶごとに白→黒→白→黒とちがった色の目に移どうする。したがって、もし白の目から出発すれば、５×５の盤の最後の目25番目の目も白ということになる。最後の白い目から、出発点の白い目には戻れないということである。

東京マラソン

　今朝のネットウェブより
　東京マラソン2013　一般ランナーも東京の街を駆け抜ける ―― 日本最大の市民マラソンである東京マラソン。一般ランナーも、東京の街を駆け抜けた。／思い思いの格好をした、一般参加のランナーたちは、スタートの時が待ちきれない様子だった。／どこかで見たことのある、あのキャラクターや、猫、かっぱの着ぐるみなどなど、奇抜な姿で走るランナーたちが、沿道の人たちを楽しませていた。／また、配給所には、トマトやバナナが用意され、疲労したランナーの体を癒やした。／配給所では、滑りやすいのか、上手につかみきれない人の姿も目立った。／走るスピードが早すぎて、トマトを取り落としてしまう人もいた。／折り返し地点の浅草・雷門では、ランナーを応援するパフォーマンスも行われた。／そして、ゴールの東京ビッグサイト。
ランナー1人ひとりが、それぞれの42.195kmを楽しんだようだった。／参加したランナーは、「6時間を目標に走ったんだけど、5時間何分で大満足です」、「達成感で、最後は涙が出そうでした」と話した。／猪瀬都知事は「東京オリンピック・パラリンピック(招致)に向けて、東京マラソンに参加している人のこれだけの盛り上がりが、やっぱり日本人は本当にスポーツ好きなんだなっていうのが、よくわかりました」と話した。　　（フジニュースネットワーク　最終更新: 2013/02/25 02:23）
 
　昨日２月24日は東京マラソンの日。気温こそ低かったが、天気は上々。
　かつての兼愛塾の塾友３人nabeちゃん、takayaくん、mitsuhiroくんが参加することが出来たという。期せずして３人ともこの爺婆で仲人を務めさせて貰った塾友なれば、応援に力が入る。
　午前９時から８チャンネルで実況放送が始る。間もなくして、携帯にメールが入る。
　kayo女史からである。曰く、「3人の番号は連絡いきましたでしょうか？　番号は　隆哉――24271　光広――44387　ナベ――40197　です。／今年は道代さんが旅行で来られないので、３人を探すのは大変です。／又連絡します　m(__)m」
　早速、パソコンを点け、インターネットの「東京マラソン」から、ランナーの３人の記録を追跡することにした。パソコンを付け電子メールを開くと、chabo女史からメールが入っていた。曰く、「おはようございます〓／快晴ですか。皆さんの快走を応援しています。頑張れです。／私は、束の間介護から解放して頂き、友人4人で沖縄に来ています。今日は、肝高（きむたか）の阿麻和利（あまわり）を見て来ます。／皆様にエールを送ってます。　　(^-^)m-muToh〓」
 
　パソコンの記録によると、３人ではtakayaくんがトップと思ったが、どうやらBib Number 順にスタートするらしい。takayaくんとmitsuhiroくんとでは20000も違うから、takaya・nabe・mitsuhiroの順は至極当然のことだろう。昼近くになって、kayo女史から携帯にメールが入る。曰く、「3人とも15キロは通過しましたね。／検索できましたでしょうか？　 山岸 佳世」
 
　早昼飯を済ませ、婆様は駒形あたりでマラソンを見てくるといって出かけた。爺は先日来腰痛で、その上この寒さじゃとてもじゃないが……　ということで、我が家でパソコンで３人を追跡しながら応援することにした。暫くする携帯に婆様から電話があり、駒形まで来てマラソンを見ているが、人が多くてとても３人を見つけ出すことは出来そうにもなく、それに冷たい風が吹いてくるので、このまま帰宅するとのことであった。 









　マラソン終了後、携帯メールでnabeちゃんの奥方、takayaくんの奥方、mitsuhiroくんに完走したお祝いメッセージを送り、それぞれの記録を貼付し、ブログに掲載することを知らせた。
　まず、mitsuhiroくんからの返信に曰く、「有難うございます。／全く問題ありません。なべちゃんと隆哉が素晴らしい成績で完走しました。／是非一緒に掲載してください。／宜しくお願いします。　ＭＮ」
　Nabeちゃんの奥方からの返信に曰く、「有り難うございます！／何とかゴールまで、走りきりました。／今、帰る途中です‥　知英子」
　Takayaくんの奥方からの返信に曰く、「応援ありがとうございました[m(_ _)m]／たった今足を引きずりながら本人が帰って来ました。／ 完走メダルがとっても嬉しそう〓／最初に転んだみたいです　ＭＳ」

Peg Solitaire ３

 　ペグ・ソリティアの問題をやっていると、奇妙なことに気付く。どんな取り方をしても、最後の石の残る場所はほぼ一定している。話をはっきりさせるために左図のように、ソリティア盤の目に番号をつけておくことにしよう。中央の目、すなわち44の目を空けておくと、最後の１個は44、41、74、47 のどれかに限られる。また、33を空けておくと、38、63，36 のどれかにしか残らないのである。結局最初の並べ方で、決まる性質が保存されているのである。
 
　ここで、左図のようにソリティア盤の目にＡ、Ｂ、Ｃの文字を書き込んで見る。縦または横に連続した３個の目をどこをとっても必ずＡ、Ｂ、Ｃの文字が１個ずつ入っているように記入する。１回の飛び越しで変化が起こるのは連続した３個の目だけで、その３個の目では必ず石が１個とり去られるか置かれるかのどちらかである。そこで盤面全体でＡと書かれた目にある石の数には必ず１個の増減が起こることになる。奇数であったら偶数に偶数であったら奇数に変わる。ＢとＣについても全く同じことが言える。
　中央の目だけ空けたスタートでは、Ａに10個、Ｂ、Ｃにそれぞれ11個の石があるから、Ａ、Ｂ、Ｃは遇奇奇となる。１回飛び越せば奇遇遇に変わり後はこれを繰り返すことになる。したがって最後に1個だけ残ったとすれば、それはＡの目でなければならない。
　Ａ、Ｂ、Ｃの記入の仕方には、１図を左右裏返しにしたものも作れる。これ両者を重ねて２図を作ってみると、最初にAAの目を空けておけば、最後にもAAの目に残ることが判る。すなわち、最初に空けておいた目と同じ記号の場所に石が残ることになるのである。

Peg Solitaire ２

 　ペグ・ソリティアは特別な道具はなくても出来る。ペグの代わりに32個の碁石、もしくは硬貨を使えばよい。まず、紙に左のようなマス目を書いて、中央の目を除いたすべての目にペグの代用物（以下、石と呼ぶ）の碁石もしくは硬貨を置けばよい。昨日のブログで述べた一定の規則で石を１つずつ取っていくと、これ以上は取れないという状態になったとき、残っている石の数が１個なら成功、２個以上であれば失敗ということになる（左図参照）。
 
　この解答は昨日のブログで述べたが、その解答を見ないで実際にやってみると、何時の間にか幾つかの石がバラバラに残ってしまい、なかなか１個にはならない。

　手に負えないようなら、先ず練習として、左図の「小手調べの問題」をやってみると良い。いずれも昔からある問題で、１個だけ残すことが出来る。
　初めの問題（「始める時の石の置き方」）では、中央の目が空いているが、これが出来たら、それ以外の目を1つ空けた状態からスタートしてみるとよい。目は33あるが、回転したり裏返しにしたりして同じ場所に来るものは同じ方法が使えるので、本当に違うパターンは中央も含めて７通りだけである。

　このような問題を解く時、「定石」のようなものをいくつか作っておくと、考えるのに便利である。例えば、左図に示したものは、この枠内だけで、いずれも１個に出来る。これらを（例題）の点線で示した部分に番号順に当てはめていけば、簡単に１個にすることができる。

 

Peg Solitaire １

 　Peg Solitaire（ペグ・ソリテア）は、1716年にドイツの数学者Leibniz（ライプニッツ、1646～1716年）の書いた書簡の中にも出てくるほど古くからあるパズルである。Solitaire とは、「ひとり遊び」ということらしい。

　一般に遊ばれているのは、左にに示した３種類の盤である。この盤のます目の中央に穴をあけてpeg（ペグ）と呼ぶ棒を差し込むか、ます目の中央にへこみをつけて、ball（ボール）を置くようになっている。
　全部のます目にpeg（ペグ）かball〔ボール、以下「ペグ」と略記）を置いたら、１個だけ除いてスタートする。除くのは通常中央である。目的は規則にしたがってペグを順に取り除いていき、最後に１個だけ残るようにすることである。残す場所も、たとえば中央のように指定される場合もある。

　ペグは、左図のようにすぐ隣にペグが１個あり、その向こうが空き地の場合に、隣のペグを飛び越して空き地に移ることができ、その際、隣のペグは取り除かれる。この操作をくり返して、最後に１個だけペグが残るようにするのである。斜めに行くことはできないし、これ以外の方法による移動も認められない。
　Solitaire盤の（Ａ）は日本、アメリカ、イギリス、ロシア等で最もふつうに使われているもので、（Ｂ）はフランスで主に使われている盤、（Ｃ）は前の２つほどは遊ばれていないが、19世紀末の Édouard Lucas（エドゥアール リュカ、1842～1891年、フランス出身の数学者）の本や今世紀前半の本にも載っている。このような古典的な盤以外に、現在では正三角形や正方形のSolitaire盤も何種類か売られているという。
　ところでＡの盤の場合、最後の１個を残すまでに31回の操作が必要であるが、１つのペグを連続して動かした場合にその連続した動作を１手と数えるやり方がある。1963年、H.O.Davisという人が、最少手数15手の解を発表している。ただし、中央の目を空き地にして開始し、最後の１個を中央に残す場合は18手必要である。その解答例を左図にに示した。
 
　なお、こうした本格的なものでなくても、碁石などをある図形に並べて、手軽にソリテア遊びを楽しむこともできる。その一例として左の図「こま（独楽）」をやってみて頂こう。どの石から開始してもよいから、最後に１個だけ残るようにしてほしい。

 

冊子の作成

 　先月17日に行なった関東地域水門会新年会の冊子の編集を終わり、ここ数日はその冊子のプリント・製本に追われ、そのためブログを休んでしまった。
 
　皆さんの投稿の版組みが出来た段階で、横浜のＮ氏にゲラを送り、冊子の校正と、冊子の題名をお願いした。１日置いて、２月13日には、校正したゲラが届き、その添え書に曰く、
「前略、関東地方の水門会・新年会の感想文のゲラお返しします。／冊子の題名はルビつきで　八十路の『水門』　としたいね。／七音でゴロもいい。／ほかに秀作があればボツにしてもらってもかまいませんよ。／草々」
 
　表紙の出来た段階で、メールを持っている諸兄に冊子作成進行状況報告を兼ねて、次のようなメールをしたためた。曰く、
　先日の新年会の冊子の投稿は２月20日をもって締め切り、３月初めには発送いたしたいと存じます。／現在のところ、14名の投稿がございました。／冊子の表紙は添付のように致したいと存じますが、ご意見のある方は遠慮なく申し出てください。／先ずは、お知らせまで　　日高　節夫
 

　反応は２人だけ、返信メールを戴いた。
　Ｉ氏からのメールに曰く、「表紙の絵　今の心境にピッタリです。／“よくぞ此処まで来られたものだ！　　これから何処まで行けるのやら？”／感慨ヒトシオです。／いつもながら編集の妙　恐れ入りました。」
　Ｙ氏からのメールに曰く、「なかなか洒落た表紙で感心しました。タイトルも「八十路の水門」とはカットの絵と合わせてぴったりです。／たいへんお手数をかけて申し訳ないですが楽しみにしています。よろしくお願いします。」
 

　今日は定期の検診日。Ａ医院で検診を受けた足で、花川戸のクロネコでメール便を発送した後、隅田川を散策。隅田公園の梅園では遅咲きの白梅も開花し始めた。その根本には水仙も咲いている。

裁ち合わせの問題 ５

　帯を作る方法の他にmosaic（モザイク）模様を作って重ね合わせる方法がある。左の図は「正方形⇔ギリシャ十字架」の例である。しかし、「星型多角形⇔正多角形」｢星型多角形⇔星型多角形｣となると、系統的なうまい方法は見つかっていないようである。
 
　３個の星型六角形から大きな星形を作る問題については、Lindgrenが13片に切る解を先ず見つけた（左図の上段参照）が、さらに彼は12片に切る解（左図の中段参照）に到達した。また、Greg N. Frederickson（グレッグ　エヌ　フレデリクソン）も12片の解（左図の下段参照）を得ている。
 

　正多角形三種による裁ちあわせは片数がおおくなる場合が多いので、片数が10片以下では、9片で正三角形、正方形、正六角形が出来る例があるだけである。これはHarry Lindgren（ハリー　リンドクレン）が発見したもので、見事というほかない。

 

裁ち合わせの問題４

　正多角形を別の正多角形に変える最小分割のレコードは左表のようになっている。
　オーストラリアの特許審査官であったHarry Lindgren（ハリー・リンドグレーン、1912～1992年）はいろいろな方法で多角形Ａを同じ面積の多角形Ｂに裁ち合わせる問題を解いた。もっとも多くの問題に適用できる方法は、まず多角形Ａをつなぎ合わせて帯を作る。そのままで帯にならないときはＡを数片に切ってからつなぐ。多角形Ｂについても帯を作り、ＡとＢの２本の帯を重ね合わせ、向きや位置をいろいろ変えて、解を見つけ出すという方法である。
　この方法で正六角形から同面積の正方形を作ったのが左図である。正六角形は同じ形の台形が出来るように真半分に切って組み合わせれば帯になる。一方正方形は横に並べるだけで帯になるので、前述の「正三角形⇔正方形の解」の要領で正六角形と同じ面積になる正方形を求め、これを透けて見える紙にかいておき、この２本の帯を重ねて、正方形の帯の両側の線がＡとＢを通るようにする。すると平行四辺形ABCDは正方形・正六角形と面積が等しく、両方から切り取って出来る切れ端だけで組み立てられている。上に載せた正方形の帯に正六角形の帯の切れ目をうつしとれば、「正方形⇔正六角形」の裁ち合わせ用の切れ端が出来上がる。
　この方法は帯さえ出来れば簡単なのであるが、「正五角形⇔正六角形」の場合にはかなり複雑な切り方を案出しなければならない。（左図参照）

 

裁ち合わせの問題３

 　昨日のブログで、同じ大きさの正方形３個分を裁ち合わせて、１つの正方形にする方法を説明しよう。
　面積１の正方形を３個並べた長方形の面積は３であるから、作りたい正方形の1辺の長さは√３である。
√３は直角を挟む２辺が１と√２の直角三角形の斜辺の長さであるから、コンパスと定規で作ズできる。その長さ√３の１辺を切り口とし、それと直交するようにハサミを入れることにすると作りたい正方形の形が決まるのである。図はそうした切り方のひとつをしめすもので、切り方は他にいろいろある。
 
　次の不等辺四角形を長方形に裁ち合せる方法も説明しよう。
　図の点ア、イ、ウ、エはそれぞれ各辺の中点であるから、四角形アイウエは平行四辺形になる（線分アイと線分ウエはともに共通の線分BDと平行で長さがその半分、線分アエと線分イウはともに共通の線分ACと平行で長さがその半分なので、線分アイと線分ウエは平行で長さが等しく、同じように線分アエと線分イウは平行で長さが等しい）。したがって、線分アウと線分イエはそれぞれの中点で交わるので、その交点をＯとする。次に、線分イエに対して点アと点ウから垂線をおろし、その足をそれぞれＰ、Ｑとすれば線分アＰと線分ウＱは平行で、線分アＯ＝線分ウＯであるから、四角形アＰウQは平行四辺形となる。これより、線分アＰ＝線分ウQ、線分PO＝線分QOとなり、従って線分エQ＝線分イP、線分エＰ＝線分イＱとなっている。四角形の内角の和は360°であるから、イエ、アＰ、ウＱを切って、右側の図のように並べ変えると、きれいに長方形になる。また、この長方形の面積は
　「イエ×アＰ×２」　となる。