桂馬跳びパズル １

　チェス（西洋将棋）にナイト（騎士）というコマがあり、馬の首を象ったものもの（左図参照）である。12世紀頃に作られた古いコマでは、馬に跨った騎士の形をしていたが、後世になって騎士が省略されたものらしい。
　ナイトの動きはいわゆる「桂馬跳び」で、日本将棋の桂馬のように２コマ先の隣へ一気に飛ぶことができる。桂馬より行動が自由で、前方ばかりでなく、四方八方に跳べるのである（左図）。このナイトがチェス盤のすべてのマス目を１回ずつ訪問する周遊の問題は、古くから多くのパズル愛好家が手がけてきたという。
　マス目が２×２の盤では、ナイトの周遊はできないのは当たり前であるが、３×３の盤でも無理なのである。中央の目にナイトがいたとすると、他のどの目にも行きようがない。逆に中央の目にはどこからも生けないということである。ただ中央が「目ではなく中空」と解釈すれば、周遊が出来、しかも終点から出発点まで、戻ることも出来るのである（左図）。
 
　左図のような４×４の盤では、４隅（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）から桂馬跳びで出たり、逆にここに入ったり出来る目は、中央のａ、ｂ、ｃ、ｄの４マスだけである。周遊して元の場所に戻ってくる場合には、どの目にも往路と復路の２本が必要であるから、隅と連絡できる目は全部で８個が必要となる。それが４個ではどうしようもない。元に戻らなくてもよければ出発点には復路が、終着点には往路が不要であるから、目は６個でよいのだが、４×４の盤ではどうにもならない。
 
　ところが、３×４の盤でなら、周遊できるのである。この場合跳び移れる関係を整理すると、左図のようになる。この図を使えば、簡単に周遊コースが見つかる。コースは次ぎのように16通りあることになる。ただし、元のところへ戻ることは出来ない。
（１）　１→７→９→２→８→10→３→５→11→４→６→12
（２）　１→７→９→２→８→10→３→12→６→４→11→５
（３）　９→７→１→10→８→２→11→５→３→12→６→４
（４）　９→７→１→10→８→２→11→４→６→12→３→５
（５）　８→10→１→７→９→２→11→４→６→12→３→５
（６）　８→２→９→７→１→10→３→12→６→４→11→５
（７）　５→３→12→６→４→11→２→９→７→１→10→８
（８）　５→11→４→６→12→３→10→１→７→９→２→８
（９）　５→11→４→６→12→３→10→８→２→９→７→１
（10）　５→３→12→６→４→11→２→８→10→１→７→９
（11）　12→６→４→11→３→５→10→８→２→９→７→１
（12）　12→６→４→11→５→３→10→１→７→９→２→８
（13）　４→６→12→３→５→11→２→８→10→１→７→９
（14）　４→６→12→３→５→11→２→９→７→１→10→８
（15）　８→２→９→７→１→10→３→５→11→４→６→12
（16）　８→10→１→７→９→２→11→５→３→12→６→４
 
　５×５の盤でも３×４と同じ要領で左のようなルート図が作れる。これを見れば、周遊のコースがすぐに見つかる。例えば、1から出発して、８→５→14→25→……→12と外枠を1周し、中枠に移って19→10→３→６→……→22と回り、最後に13に行けば完了である。
 
　５×５のように目の数が奇数の盤では、終点から元の位置に戻ることは出来ないのである。この理由はチェス盤を１つおきに黒の色を塗って市松模様にすると、ナイトは１つ跳ぶごとに白→黒→白→黒とちがった色の目に移どうする。したがって、もし白の目から出発すれば、５×５の盤の最後の目25番目の目も白ということになる。最後の白い目から、出発点の白い目には戻れないということである。