総当りリーグ戦の組み合わせ ２

 　昨日のブログで総当たりリーグ戦の組み合わせは一日目の組み合わせから書き下ろすことが出来るとあったが、この秘密について説明しよう。
　左図のように、円周を７等分して、時計回りに等間隔に２から８までの番号をつける。また、中心を１とする。ずのように、３と８、４と７、６と５をそれぞれ結んで三本の弦を作り、１と２を結ぶ半径も作ることにする。こうすれば、結ばれた数字同士は１日目の取組みを表していることになる。
　二日目以降の取組みは、１と２を結ぶ半径を時計の針と考えて、時計回りに１／７周ずつ回転していけば得ることが出来る。この時、３本の弦も１と２を結ぶ半径の動きにつれて、同じように１／７周ずつさせるものとするのである。
　この方法ですべての取組みが矛盾なく作られることは次のように説明される。一周する間に1が２から８までの全ての数と組み合わされるのは明らかであるからその他の組み合わせについて考えてみる。
　先ず、円内の三本の弦を見ると、その長さは全て違っている。具体的には３と８を結ぶ弦は２／７周の弧に対するもの、４と７を結ぶ弦は３／７周の弧に対するもの、５と６を結ぶ弦は１／７周の弧に対するものとなっている。ところが、１／７周ずつ離れた円周上の７個の点を結ぶ弦はこの三本の弦で尽くされている。したがって、各弦を１／７周ずつ回転させると、２なら2に毎回違った長さの弦が来て違った距離（数字）と結ばれることになる。そして、可能な弦の長さが全てそろっているので、一回転する間に円周上のどの数字とも結ばれることになる。このことは、どの２力士も７日間のうちに一回だけ組み合わされることを意味する。
　所望の組み合わせを作れる弦の結び方は２に示したものだけに限らない。例えば、最初に１と２、３と７、４と５、６と８を結んだ弦を作り、それを回転しても良いわけである。
　ただし、うっかり、左図のように弦を結んだりすると、３と５、６と８を結んだ２本の弦の長さが等しくなるために、同じ組み合わせがダブルことになってしまう。



　１と２を結んだ結んだ半径と、直角に他の弦を作るのが一番着実な方法である。この方法なら一般に２ｎ（偶数）人に対する組み合わせを作ることが、可能である。明日はこのことについて言及してみよう。