天元術

　本日のウェブニュースより。
　大連立、排除せずと自民・谷垣氏＝民主幹事長も「選択肢」―― 自民党の谷垣禎一総裁は31日午後の記者会見で、民主、自民両党による大連立について「2011年度予算も通ったし、これから年度も替わる。いろいろ考えていかなければならない。常に360度、上下左右を見渡しながら進んでいく」と述べ、排除しない考えを示した。民主党の岡田克也幹事長も会見で「与党に多くの党が入っていただくことも一つの選択肢だ」と語った。／谷垣氏はこれまでも、将来の民主党との連立に含みを残していた。同日の発言はさらに踏み込み、東日本大震災の復旧・復興が本格化するのを前に、大連立政権の可能性を検討する考えを示したものだ。／谷垣氏は会見で「未曽有の災害、国家的危機を前にして、被災者支援、復興に関して与野党を超えて協力すると明らかにしてきた。幅広くいろんなことを検討しなければならない」と強調。連立参加に際しての政策協議に関しては「いろいろな政策判断の違い、考え方の違いがある。どういう協力体制が組めるのか一番考えどころだ」と述べた。／これに関し、岡田氏は「戦後経験したことのないような大きな事態に直面しているので、党派を超えて協力する必要がある」と指摘、自民党との大連立を「選択肢」と位置付けていることを強調した。　（jijicom. 2011/03/31-17:58）

　天元術の天は天地人三才のトップにあり、元は初めとか大とかを意味し、いずれも易と関係深い言葉である。この「元」という文字によって未知数を表し、現在代数で「未知数をｘとする」という言葉に対して、「天元の１をたてる」というところから立天元一術とか天元術という名称が起こったとされる。現在の代数学で取り扱う方程式にも「元」という文字がつかわれるが、その紀元は李冶の『益古演段』に溯る。数式を表す場合未知数の一次の位置を「元」で示すが、定数項の位置を「太」で示した。
　天元術による代数表示は、未知数をｘで表す現在の方式に比べるとはるかに不便である。しかし、ヨーロッパの場合も、直ちに現在の方式になったわけではない。16世紀初めから18世紀末まで紆余曲折を経て現在の表示になったという。簡単で便利な記号が作られることは単に記号だけの問題でなく、数学自体の発展を齎す。中国の代数が李冶の時代のままでそれ以上の発展を見なかったのは残念なことである。
天元の一を立てて仮に求める値とする。次に、題の条件によって加減乗除を施して既知数と等しい式をつくり、それと既知数とを相消することで開方式（方程式）を得る。そして、それを開方（方程式の根を得る計算）して答えを得る。 相消とは、等しい数を減じて0の値を得る事で、つまり西洋で、等号で結ぶこと、また、等式の右辺を0にすることにあたる。拙痴无爺も理解できない部分もあるが、天元術の実際を見てみよう。
　例題：今長方形がある。その長方形の積は15で、長辺と短辺の和が8であるとき、長辺と短辺の長さはそれぞれいくらか。
求める数を長辺として、まず、天元の一を立てて長辺とす、と言って算盤の実級（定数項）を空（0）とし、法級（xの一次項）に係数1の算木をしく。すなわち、0 + xの式である。（図１）
次に、長短辺の和8より長辺（つまり求める数x）を減じ、短辺とする、と言って実級に8の算木をしいて法級に-1の算木をしく。すなわち8 − x = 短辺　の式である。（図２）
　この式（つまり短辺）を長辺（つまり求める数x）と、あい乗じて積とする。xがかかって次数が一つあがるので、法級に8をしき、廉級（x^2の項）に-1をしく。すなわち0 + 8x − x^2 = 積　の式である。「これを左に寄す」と言ってこの式をひとまずおいておく。（図３）
　この式が、積に等しいので、積15を列しこれを左に寄すと相消す、と言い、左に寄せた式より積15を引き、長辺（x）を得る開方式（方程式）を得る。すなわち − 15 + 8x − x^2 = 0の方程式である。（図４）
　これを開方することで商（根）に長辺の値の５を得る。また、長辺短辺の和よりこれを引いて短辺を得る。
以上が天元術の一例である。
　現在のやり方なら　一辺をｘとすると他辺は ８－ｘ であるから、ｘ（８－ｘ）＝15、　８ｘ－x^2＝15、　x^2－８ｘ＋15＝0　の方程式を得る。左辺を因数分解して　（ｘ－３）（ｘ－５）＝０　　∴　ｘ＝３or５　Ans. 長辺５、短辺３　と筆算でできるのである。