きぬ盗人算（盈不足算）

　ある個数のものを何人かに分けたときの過不足の情報が2つ与えられている。そこから、人数と全体の個数を求める問題があり、過不足算と呼ばれている。　全体の差÷1つあたりの差=個数　　という式が成り立つが、3つの型があるとして与えられる。古くは「盈（えい）不足算」ともいわれていた。
　例題（余る場合と不足する場合が存在する場合)
　泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を８反ずつ分けると４反あまり、10反ずつ分けると８反足りない。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。
　解）全体の差÷1人分の差＝人数　　（８＋４）÷（10－８）＝６〔人〕
　　　８×６＋４＝52 （反）　　または　　10×６－８＝52 （反）
　答えは６人、52反である。　（図１参照）

　例題（どちらとも余る場合）
　泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を８反ずつ分けると12反あまり、10反ずつ分けると２反あまる。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。
　解）全体の差÷1人分の差＝人数　　　（12－２）÷（10－８）＝５（人）
　　　８×５＋12＝52 （反）　　または　　10×５＋２＝52 （反）
　　　答えは５人、52反となる。　（図２参照）

　例題（どちらも不足する場合）
　泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を８反ずつ分けるには２反不足し、10反ずつ分けるには12反不足する。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。
　 解）全体の差÷1人分の差＝人数　　(12－2)÷(10－8)＝5(人)
８×５－２＝38 (反)　　または　　10×5-12＝38 (反)
　　　答えは5人、38反となる。　（図３参照）
 
　日本では、吉田光由の塵劫記に布盗人算（きぬぬすびとざん）として登場する。曰く、
　さる盗人、橋のしたにて、絹をわけとるを見れば、八反づつわくれば七反足らず。又七反づつわくれば八反あまると云。盗人の数も衣（きぬ）の数もしれ申候。
　これを現代風に方程式を用いて解くと、　人数をｘ人とする  ８ｘ－７＝７ｘ＋８
よって　８ｘ－７ｘ＝８＋７   従って ｘ＝15（人）　　15×８－７＝113（反）　となる
 
　中国の《孫子算経》(六朝時代の書といわれている)には次のような過不足算が載せられている。
　「今有人盜庫絹、不知所失幾何。但聞草中分絹、人得六匹、盈六匹；人得七匹、不足七匹。問人、絹各幾何？
（答曰：賊一十三人。絹八十四匹。）」
　今、人ありて庫の絹を盗む。失うところ幾何なるかを知らず。ただ草中に絹を分くるを聞く。人ごとに六匹を得れば、六匹あまり、人ごとに七匹を得れば、七匹足らずと。問ふ。人と絹と幾何を得るや。
　解）　人数を　ｘ   とする       ７ｘ－７＝６ｘ＋６　　よって　７ｘ－６ｘ＝７＋６  
　　　　従って 　ｘ＝13（人）　　　13×６＋６＝84（反）　　となる。
 
　孫子算経 に先立ち漢代のBC１世紀～AD２世紀にかけて書かれたという「九章算術」の篇目は方田・粟米・少広・商功・均輸・盈不足・方程・句股の九章よりなる算術書であるが、その盈不足の冒頭に
　「今有共買物、人出八、盈三；人出七、不足四。問人數、物價各幾何？　答曰：七人、物價五十三。」
　今、共にも物を買うに、人ごとに八を出せば三余り、人毎に七を出せば四を不足する。人数、物価はそれぞれ幾許足りやを問う。　答え　七人、物價五十三
　解法）　人数を ｘとすると、　８ⅹ－３＝７ｘ＋4　　従って　ｘ＝７
　　　　８×７－３＝53　　または　　７×７＋４＝53　
 
　以下２題は同じく九章算術にある問題であるが、解法は各自で試みられたい。
　「今有共買雞、人出九、盈十一；人出六、不足十六。問人數、雞價各幾何？　答曰：九人、雞價七十。」
　いま、鶏を共同で買う、九ずつ出し合えば十一余る。六ずつ出し合えば十六不足する。問う。人数、鶏の値段はいくら？　　答えを言うと、、九人、鶏の値段は七十
　「今有共買璡、人出半、盈四；人出少半、不足三。問人數、璡價各幾何？ 　答曰：四十二人、璡價十七。」
　いま、璡を共同で買う、半分の人が出し合えば４余る。３分の１の人が出せば３不足する。問う。人数、璡の値段はいくら？　　答えを言うと、、42人、璡の値段は17