裁ち合わせの問題 ５

　帯を作る方法の他にmosaic（モザイク）模様を作って重ね合わせる方法がある。左の図は「正方形⇔ギリシャ十字架」の例である。しかし、「星型多角形⇔正多角形」｢星型多角形⇔星型多角形｣となると、系統的なうまい方法は見つかっていないようである。
 
　３個の星型六角形から大きな星形を作る問題については、Lindgrenが13片に切る解を先ず見つけた（左図の上段参照）が、さらに彼は12片に切る解（左図の中段参照）に到達した。また、Greg N. Frederickson（グレッグ　エヌ　フレデリクソン）も12片の解（左図の下段参照）を得ている。
 

　正多角形三種による裁ちあわせは片数がおおくなる場合が多いので、片数が10片以下では、9片で正三角形、正方形、正六角形が出来る例があるだけである。これはHarry Lindgren（ハリー　リンドクレン）が発見したもので、見事というほかない。

 

裁ち合わせの問題４

　正多角形を別の正多角形に変える最小分割のレコードは左表のようになっている。
　オーストラリアの特許審査官であったHarry Lindgren（ハリー・リンドグレーン、1912～1992年）はいろいろな方法で多角形Ａを同じ面積の多角形Ｂに裁ち合わせる問題を解いた。もっとも多くの問題に適用できる方法は、まず多角形Ａをつなぎ合わせて帯を作る。そのままで帯にならないときはＡを数片に切ってからつなぐ。多角形Ｂについても帯を作り、ＡとＢの２本の帯を重ね合わせ、向きや位置をいろいろ変えて、解を見つけ出すという方法である。
　この方法で正六角形から同面積の正方形を作ったのが左図である。正六角形は同じ形の台形が出来るように真半分に切って組み合わせれば帯になる。一方正方形は横に並べるだけで帯になるので、前述の「正三角形⇔正方形の解」の要領で正六角形と同じ面積になる正方形を求め、これを透けて見える紙にかいておき、この２本の帯を重ねて、正方形の帯の両側の線がＡとＢを通るようにする。すると平行四辺形ABCDは正方形・正六角形と面積が等しく、両方から切り取って出来る切れ端だけで組み立てられている。上に載せた正方形の帯に正六角形の帯の切れ目をうつしとれば、「正方形⇔正六角形」の裁ち合わせ用の切れ端が出来上がる。
　この方法は帯さえ出来れば簡単なのであるが、「正五角形⇔正六角形」の場合にはかなり複雑な切り方を案出しなければならない。（左図参照）

 

裁ち合わせの問題３

 　昨日のブログで、同じ大きさの正方形３個分を裁ち合わせて、１つの正方形にする方法を説明しよう。
　面積１の正方形を３個並べた長方形の面積は３であるから、作りたい正方形の1辺の長さは√３である。
√３は直角を挟む２辺が１と√２の直角三角形の斜辺の長さであるから、コンパスと定規で作ズできる。その長さ√３の１辺を切り口とし、それと直交するようにハサミを入れることにすると作りたい正方形の形が決まるのである。図はそうした切り方のひとつをしめすもので、切り方は他にいろいろある。
 
　次の不等辺四角形を長方形に裁ち合せる方法も説明しよう。
　図の点ア、イ、ウ、エはそれぞれ各辺の中点であるから、四角形アイウエは平行四辺形になる（線分アイと線分ウエはともに共通の線分BDと平行で長さがその半分、線分アエと線分イウはともに共通の線分ACと平行で長さがその半分なので、線分アイと線分ウエは平行で長さが等しく、同じように線分アエと線分イウは平行で長さが等しい）。したがって、線分アウと線分イエはそれぞれの中点で交わるので、その交点をＯとする。次に、線分イエに対して点アと点ウから垂線をおろし、その足をそれぞれＰ、Ｑとすれば線分アＰと線分ウＱは平行で、線分アＯ＝線分ウＯであるから、四角形アＰウQは平行四辺形となる。これより、線分アＰ＝線分ウQ、線分PO＝線分QOとなり、従って線分エQ＝線分イP、線分エＰ＝線分イＱとなっている。四角形の内角の和は360°であるから、イエ、アＰ、ウＱを切って、右側の図のように並べ変えると、きれいに長方形になる。また、この長方形の面積は
　「イエ×アＰ×２」　となる。

 

裁ち合わせの問題２

　中根彦循は『勘者御伽双紙』の中で裁ち合せの例をいくつも紹介しているが、ここでは裁ち合せを実際にやってみよう。まず正方形２個分の長方形をハサミで切って正方形１個にしてみる。
　２個の場合は左の図Ａのように簡単なやり方があるが、実はこれ以外にもいくらでも切り方がある。図Ａの切り方を平行移動した図Ｂや図Ｃを見ると、確かにこの切り方でもよいことが確認できる。

　では、同じ大きさの正方形３個分を裁ち合わせて、１つの正方形にしてみよう？　はてさて、みんなで考えて貰うことにしよう。

　三角形を長方形に裁ち合せるには、左の１図のように中点連結定理を用いれば簡単に出来る。
では２図のような四角形を裁ち合せて長方形にすると面積の計算が簡単になるのですが、どう切ればよいだろうか？　これも、みんなで考えていただこう。

裁ち合わせの問題１

 　欧米では「図形の分割」といわれているが、わが国では中根彦循の『勘者御伽双紙』に「裁合物（たちあわせもの）の事」として載っているので、「裁ち合せの問題」と呼ばれている。

　裁ち合わせの問題には円形を２つの卵形に、また正方形を二つの正方形に裁ち合わせる問題などもある（左図参照）が、やはり、多角形を切って別の多角形を作る問題が多いようである。
 
　多角形ならばどんなものでも、裁ち合わせによって面積の等しいどんな多角形にでも作り直すことが出来る。このことは、1832～33年にハンガリーの数学者Farkas Wolfgang Bolyai（ファルカッシ・ボヤイ、1775～1856年）とドイツの数学愛好家Gerwien（ゲルビン、詳細不詳）によって証明されている（ボヤイ＝ゲルヴィンの定理）という。
※ボヤイ＝ゲルヴィンの定理：面積の等しい二つの多角形Ａ、Ｂが存在した時、Ａを有限回分割し組みなおすことで、Ｂと合同な図形を作ることが出来る
 
　しかし、ある図形を別の図形に変える方法は、実際にやってみなくては判らない。また、切り方が「最小の片数」であるという証明は大抵の場合う不可能である。
　正方形を２つの同面積の正方形にしたり、平行四辺形を三角形にする問題（左図）なら、小学生でも出来るだろう。


　『勘者御伽双紙』では　１×ｎ　の長方形を立ち合わせて正方形にする問題が中心に扱われている。





　他にいろいろな凸多角形、星型多角形、十字架、ポリオミノ形、文字や記号の形をした多角形の問題がある。（左図参照）



 

　数学的にも興味深いのは、正多角形を別の正多角形に変えることである。「正三角形⇔正方形」「正方形⇔正五角形」「正方形⇔正六角形」の最小片数の解は、デュードニーがパズル・ブックで発表している。このうち正三角形⇔正方形」の解を左図に示しておく。

 

桜前線予想

 　今年は是非隅田川の花見会をやって欲しいとの水門会の面々の要望なので、桜の花芽のふくらみ加減が何となく気になる。ウェブニュースの花見前線予報が出た。
　桜の開花、今年は早め？　九州では３月１９日ごろから ―― 日本気象協会は７日、桜（ソメイヨシノ）の開花予想を発表した。全国的には今年は平年より早いか平年並みとみている。九州・山口では平年より３～４日早まりそうだ。／気象協会の予想では、桜前線は３月１９日ごろ熊本市に上陸する。続いて、20日ごろ＝福岡市、長崎市、宮崎市▽21日ごろ＝佐賀市、大分市▽22日ごろ＝鹿児島市▽24日ごろ＝下関市、で開花する見込みという。／２月の気温が平年より高めになることが予想され、陽気がつぼみの生育を促すためとしている。／名古屋市では24日ごろ、東京都心や大阪市では25日ごろの見込み。 　〔朝日新聞　2013年２月７日23時27分〕

東京スカイツリー

 　ウェブニュースより、最近のスカイツリーの記事
 
　約3900件で対策必要　スカイツリー受信障害で ―― 関東地方での東京スカイツリーの受信障害問題で、NHKは7日、コールセンターに昨年12月から今月６日までに計約１万4000件の問い合わせがあったと明らかにした。／このうちアンテナの向きを変えるなど受信対策が必要なのは約3900件で、東京都心部や東京近郊の千葉県などの世帯が目立った。／NHKの久保田啓一技師長は「データを整理し、障害の種類を分析している」と述べた。／NHKと在京民放5局は昨年12月22日から土曜日の早朝の試験放送を開始。今月から夕方にも試験を実施し、問い合わせが急増した。　[Sponichi Annex 2013年2月7日 23:52 ]
 
　東京スカイツリー 試験放送にクレーム殺到 16万世帯がテレビ見られない ―― 「やっぱりね」という声も聞こえてくる。NHKなどの在京テレビ６局が２日、東京スカイツリーからの受信状況を確認する試験放送をしたら、相談センターには、「テレビがきれいに映らない」といった抗議が殺到。受信不良報告が1308件も寄せられたのだ。／「いま関東地方のテレビの電波は東京タワーから送信されていますが、今年５月にスカイツリーに移転する予定です。東京タワーよりアンテナの位置が高くなるため、ビル陰などによる電波障害が改善されるはずでしたが、事前の調査で、関東一円の約16万世帯で障害が起こる可能性があることが分かったのです」（総務省事情通）／その状況を確認するための試験放送が昨年末から始まったが、２日の分と合わせて、これまでに計2600件超の受信不良報告があった。／東京スカイツリー移行推進センターは「視聴者に迷惑をかけないように万全を期す」としているが、そう簡単な話でもなさそうだ。／「原因は、家庭に設置されているアンテナの向きなどです。電波を送信する位置が変わるわけですから当然のことで、在京６局は計100億円を負担、障害のある家庭に業者を派遣し、アンテナ調整などを行っています。が、そもそも16万世帯で収まるかも疑問。もっと増えると指摘する専門家もいる。年末から始めた試験放送も先月までは土曜日の早朝にやっていたので、まだ受信不良に気づいていない人も相当いるはず。そうなると、各局の負担額はさらにかさむし、５月に移転できるかも微妙。関係者の中からは『東京タワーのままでよかった』なんて冷めた声も上がっています」（放送業界関係者）／それでなくても先月、都内で大雪が降った後にはスカイツリーから何度も落雪し、近隣民家の屋根に穴が開くなどの被害も発生している。／高さ１メートルにつき１億円超の工費をかけ、さらに100億円を使う意味があるのか。　（Gendai.net 2013年2月4日 掲載）
 
　姪のchisato君が、義兄（あに、一昨年なくなった爺の実姉の連れ合い）の卒寿の写真を、婆様の携帯に送ってくれた。曰く、「卒寿記念にスタジオで撮ろうと突然兄が言い出しました。naokoさん（haruki君の連れ合い）が携帯で送ってくれました。お父さんとharuki兄がなんとなく似てるのに驚きました。」
　爺にはharuki君はどことな(　)く里見浩太郎に見間違うように見えたが。 

清少納言知恵の板２

 　「清少納言智恵の板」のターゲット読者だが、「是を閲するに幼稚の児女智の浅深によって万物の形を自然にこしらへもろもろの器の図はからずも作り出すこと」というくだりから、どうも女子供向けということが窺われる。これを裏付けるのが、ボストン美術館蔵、喜多川歌麿(1753～1806年)の「角玉屋内誰袖 きくの しめの」に描かれている智恵の板だ。
　この『清少納言智恵の板』の本の中には42題の問題と解答を載せている。この知恵の板は７片からなっていて、左図に示すように正方形を作るのに２つの組み方が可能である。

　「清少納言の本に、智恵の板を描いた巻があり、その図に倣って当世風の並べ図を考案した……云々」といっているが、これはおそらく、戯作者風の創作であろう。「清少納言智恵の板」の特色として、「釘貫（くぎぬき）」という題で左図のように真ん中が中空の正方形が出題されていることで、アメリカのパズル研究家Martin Gardner (マーチン・ガードナー、1914～2010年)が絶賛をしている。
 
　この知恵板はその後結構流行ったようで、中田高寛（なかたたかひろ、1739～1802年、富山藩士、和算家）が安永（1772 ～1780年）のころに『並物　一百十余品』（写本）を著しているほか、天保８（1836）年にも『江戸ちえかた』というパターン集（306題収録）が出ている。
　http://www.chronos.co.jp/kenno/edo-chiekata.cgi
 
　その後、明治時代が近くなるまで「清少納言智恵の板」は楽しまれていたようだが、さらに明治時代にも続いたようだ。樋口一葉の「たけくらべ（明治28《1895》年刊）」にも登場するからである。
※『たけくらべ』の「五」に、次のような件（くだり）がある。
あゝ面白くない、おもしろくない、彼の人が來なければ幻燈をはじめるのも嫌、伯母さん此處の家に智惠の板は賣りませぬか、十六武藏でも何でもよい、手が暇で困ると美登利の淋しがれば、夫れよと即坐に鋏を借りて女子づれは切拔きにかゝる

 

清少納言智恵の板１

 　Tangram（タングラム）に先がけて、同じ正方形を別のやり方で七つの小片を使って、全く同じように形合わせの遊びに使うパズルが、日本では寛保２（1742）年に『清少納言智恵の板』という名で作られていた。
　清少納言知恵の板の発祥に関して詳しいことは分かっていないが『枕草子』の作者で才女として知られた平安時代の女流歌人・清少納言が女児（上東門院小馬命婦か）の知能テストを目的に考案したとの民間伝承が残されているという。この「智恵の板」の原本は縦11㎝、横15.5㎝、全部でわずか32頁の和綴じ本で、現存するものは東北大学、東京都立中央図書館、上田市立図書館、西尾市立図書館の四ヶ所にしか見つかっていないとのことである。
　
　始めに序文（清少納言智恵板　序　参照）があり、
〔上段原文〕：清少納言の記せる古き書を 見侍るに智ふかふして人の 心目をよろこばしむこと多し 其中に智恵の板と名づけ 図をあらわせるひとつの巻 あり是を閲するに幼稚の児女 智の浅深によって万物の形 を自然にこしらへもろもろの器 の図はからずも作り出すこと/ 誠に微妙のはたらき有しかれ ども其図は往昔の器物の形
（上段訳文）：清少納言が書いた古い文を見ると、彼女は智恵が豊かで、人々を楽しませることが多く書かれている。その中に、智恵の板と名付けて、図を描いた一冊がある。これを見てみると、幼い子どもたちが智恵の程度によって万物の形を自然に作ったり、いろいろな器物の形を偶然にも作り出しているのは、まったくその（智恵の板の）不思議な作用である。しかし、その図は昔の器物の形だったり、
〔中段原文〕：又は雲上の御もてあつかひの品 ゆへ今の児女その心を得がた/ し故にあらたに図を作り 当用の器物まぢかき形を 記せり人々智の至るところ にしたがひ板のはこびによって品かわりたる形あらはれ ずといふことなしこゝに手引のために百分の壱つを示すものなり初に諸物の図を出し奥に板のならべ様の図を載すされども奥のならべ様を
（中段訳文）：または宮中で使われていたものだったりするので、今の子どもたちにはその意味がわかりにくい。よって、ここに新しく図を起こし、今風の器物の形を描いた。皆さんの智恵の発達具合に従って、板の置き方次第で、変ったおもしろい物の形が出現するに違いない。この本は、例題としてその百分の一を示したものだ。初めにいろいろな物の図を描き、後に板の置き方の図を載せた。だが、後の置き方を 
〔下段原文〕：見ずして初めの図のごとく 人々の作意にて七つ板のならべ/ はこびを考へ給はゞ不測の はたらきありて一座の興を 催すべきものならし
（訳文）：見ないで、初めの図のように皆さんの頭を働かせて七つの板の並べ方をお考えくだされば、思いがけぬ形ができあがったりして、一座も盛り上がることだろう。
　　　　寛保二年　戌八月　　　含霊軒述
　　秘伝の巻に残らず顕はすといへども爰に壱つを出し板のならべ様を見す
　　八角かがみ　七つ板　ならべ様 

 








 

爺の誕生日

 　昨日は爺の81回目の誕生日。歌舞伎界の重鎮　市川団十郎が亡くなった。66歳だという。
　この世にいても何の意味もない爺のような奴が永らえて、これからも生きて世のため人のために活躍すべき人が去ってで逝く。まあ、この世の現実は「不条理の連続」という条理のもとで流れてゆくものなのだ。
　ウェブニュースより、
　團十郎さん死去　芸も人柄も愛され ―― 歌舞伎役者の市川團十郎さんが３日夜、肺炎のため亡くなった。白血病を克服し、４月の新・歌舞伎座こけら落とし公演の出演演目も決まり、早い復帰が待たれていたところだった。突然の訃報に、ゆかりのある人たちから惜しむ声が上がった。
◆白血病の患者ら招待：白血病の壮絶な闘病生活をくぐり抜けた團十郎さんは、毎年公演に白血病の患者や家族を招待していた。團十郎さんが会長を務めていた白血病患者を支援するNPO法人（全国骨髄バンク推進連絡協議会」の野村正満副会長は「患者や家族、関係者にとっても大きな存在だった。みんなショックを受けている」と話した。／同会によると、團十郎さんは白血病から完全復帰後の2009年11月の国立劇場での公演から白血病の骨髄移植経験者らを招待。その後も、患者や骨髄移植のドナーなどを公演に招待した。公演後に楽屋に患者らを招いたり、関係者の集いで二次会や三次会まで顔を出し、患者ら一人一人に声を掛けて回っていたりしたという。／11年７月には「私のような者でもお役に立てるなら」と会長職を快く引き受けていた。野村副会長は「すごい方なのに非常に腰が低く、人に優しい方でした」と話す。團十郎さんの活躍する姿は、患者の大きな活力になっていたという。野村副会長は「昨年秋に会った時は元気だったが、入院したと聞いて、お見舞いに行こうと思った時はかなりよくないと聞き、ずっと心配していた」と語った。
◆惜しむファン「早すぎる」：團十郎さんの死去から一夜明けた四日、ファンからは「早すぎる」「若くして亡くなり残念」と惜しむ声が相次いだ。／東京・日比谷の日生劇場前。午前の歌舞伎公演を見に来た江戸川区のアルバイト前田みどりさんは「まだ早いのに…」と驚いた様子。「ベテランらしい演技が素晴らしかった。歌舞伎界の柱。もっとお芝居がしたかっただろうに」と悲しんだ。／昨年十二月の中村勘三郎さん死去に続く悲報。茨城県土浦市の無職穴沢徹さん（73）は「天才で努力を惜しまなかった。勘三郎さんといい、スーパースターが相次いで去ってしまい残念」と肩を落とした。
◆浄瑠璃愛好家「気配り、律義な人」：團十郎さんの公演を支えてきた浄瑠璃「河東節（かとうぶし）」の愛好家でつくる「十寸見（ますみ）会」世話人の一人、深山小十郎さん（71）＝東京都練馬区＝は「昨年お会いした時は本当にお元気だった。新しい歌舞伎座がいよいよできると楽しみにされていたのに」と死を悼んだ。／河東節は江戸時代に浄瑠璃語りの「十寸見河東」が広めた三味線音楽の流派で、十寸見会はその愛好家の集まり。深山さんは四十年になるベテランで、舞台正面奥の御簾（みす）から河東節で盛り上げてきた。／昨年８月31日に東京・国立能楽堂で開かれた「市川流リサイタル」では、團十郎家の四人で「三番叟」を演じ、十寸見会が演奏した。翌九月には、深山さんが理事を務める財団法人古曲会の五十周年記念の演奏会に團十郎さんが特別出演し「助六」を踊った。／1985年の12代目襲名時に團十郎さんから贈られた扇子を、深山さんは今も大事に持つ。「私みたいなものにも気を配っていただき本当に律義な方でした。大事に使わせてもらっています」と早すぎる別れを惜しんだ。
◆成田市民「悲しい」：團十郎さんは、折に触れて千葉県成田市の成田山新勝寺を参詣し、10年ごとの開帳では歌舞伎を奉納するなど、本尊の不動明王をあつく信仰していた。大みそかには家族そろって訪れ、一月一日午前零時からの御護摩祈祷（きとう）を受けるのを習わしとしてきた。昨年11月に夫妻でお参りに来たのが最後になったという。このとき境内を案内した新勝寺企画調整課の村井浩孝係長は「とても元気そうで、貫主との面会では孫娘の話題で笑顔を見せ、次の御開帳も楽しみにしておられた」と驚いた様子。山崎照義寺務長らが４日朝、弔問に向かったという。／境内で土産物店を営む篠原貞子さんは「驚き、とても悲しく思う。多くの成田市民が成田屋を応援してきた。（４月に開場する新しい歌舞伎座の）こけら落としの舞台には立ってもらいたかった」と話した。後継ぎに恵まれなかった初代團十郎（1660～1704年）が、父の故郷の下総国幡谷村（現成田市）に近い新勝寺で祈願したところ、長男を授かったのが信仰の始まり。その後、「成田屋」の屋号を用いるようになったとされる。　　　（東京新聞　2013年2月4日 13時59分）
 
　正月２日に、塾友のTS氏が浅草演芸ホールの自由入場券をプレゼントしてくれた。昨日は、休日明けで場内も空いていることだろうし、爺の誕生日でもあると言うことで、婆様と連れ立って出かけた。
　帰宅すると、郵便受けに夕刊と一緒に横浜のＮ氏からの封書が届いていた。何事かと、すぐに開封してみると、万札とともに手紙がはいっていた。曰く
「2013.２．３／日高節夫様／ＩＫ
　前略／元気ですか。成人の日の雪掻きで滑って尻餅をつき、尻も腰もどうもなかったのですが、尻を庇って、下についた右手を少しばかり切ってしまいました。その傷もようやく治って、手を洗う湯がしみて痛まなくなりました。80才になっても、皮膚の再生能力はまだあると見えます。／さて、つばめグリル八十路のつどいで、君に何かと通信費のものいりをさせることを考え、今年のカンパをお届けします。印刷費、郵便費の一部にでも当てて下さい。／わが家は老妻が電気コードに引っかかって廊下で転倒して、テーピングで治療しているものですから、私が家事をてつだうのですが、やりかたが悪いと文句たらだらです。頭の悪い叩き上げの上司に昔同じようなめに会ったことがありますが、80才でこのような上司？　に会おうとはね。／対処策は「ようし、分かった」とへんじをして、その指示に従わず、自分の思う方向で家事を処理することです。終りよければすべて良し。プロセスなんぞ、幾通りもあるのです…　と、こう開き直ると気が楽です。／近頃、さっぱり手紙を書かないＫにFAXしてみた。返事が来て「ここのところ腰痛が出て難儀している」と書いてあった。たしかにこの歳になると、あっちこっちも痛むものだよ。昨夜も寝床の中でこむら返りが起こって目が覚めた。／まあ、命に別状はなかろうが、痛いことは痛い。／そんなこんなの毎日だか、今日節分で君の豆撒き姿の写真を思い出した。／生きられるだけいきてみようよ。／とりあえず節分のご挨拶／草々」
 
　携帯メールが入った。
　蒲田のshinさんからのメールに、曰く、「日高　さま／本日は81歳のお誕生日ですネ。おめでとうございます！／益々のご健康をお祈り申し上げます。／最近は、穏やかな天気が続いていますネ。でも油断せずに、お体に十分お気をつけてください。／またの再会を楽しみにしております。／奥様にもどうぞよろしくお伝えください。／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　シン＠蒲田」
　爺からshinさんへ曰く、「誕生日のお祝いの言葉有難う／僕の生まれた1932年は２月４日が節分で、５日が立春でした。これが僕が節夫と名付けられ、セッチンと呼ばれるようになった由縁です。ハハハハッ／まずはお礼まで／セッチンより」
 
　塾友のkanameちゃんからのメールに、曰く、「〓お誕生日おめでとうございます〓〓kanami〓」
　爺からkanameちゃんへ曰く、「ありがとう。寄席に言っていたので返事が遅れました。／日高」
　さらに、kanameちゃんからのメールに、曰く、「先生がお元気でいらっしゃる事がkanamiとって大きな〓幸せ〓の一つです〓」
 
　婆様からかTS氏夫人に、浅草演芸ホール自由入場券頂戴のお礼のメールを入れたらしい。婆様の携帯に折り返し返事が届いた。曰く、
「今晩は。ご無沙汰しております[m(_ _)m]／浅草演芸場行って下さったのですね。わざわざご報告して戴いて恐縮です。／ありがとうございます。／日高先生のお誕生日にお二人で 笑って戴けたことが分かって 私もすごく嬉しいです〓。／主人も喜びます。
　そうそう、東京マラソンに向け一昨日は 主人とTKさんと MNさんと三人で 一緒に少し練習で走ったようです。／東京マラソンに参加が決まって走るようになってから体重もかなり落ちて 今のところは結構楽しそうにしています。／本番 どうなることか…？ ／多分 ヘロヘロになると思います。私は少し意地悪な目で見ています〓／当日出来ましたら 応援 宜しくお願い致します。／一昨日、昨日と 凄く暖かくてびっくりしましたが、また 明日夕方から雪の予想も出ていますので 風邪など引かれませんようお気をつけ下さい。
メール 戴けて嬉しかったです。有り難うございました。日高先生にも宜しくお伝え下さい。M「__」m／ではまた(⌒0⌒)／~~makiko〓」