タレスの業績

　Thalēs(タレス)は商用でエジプトに渡ったとき、そこで「測量術」に魅せられ、神官から学び、研究生活を始めた。ある日、エジプトのアマシス王が家来を連れてピラミッドの見学に行ったとき、王が家来達にピラミッドの高さを測るように命じた。そこで、ただ一人タレスが進みでて王を驚かせた。その、タレスの測り方には二つの説がある。
 
　つぎの定理はいずれもタレスが発見し、それに対して証明を与えたものだといわれている。
１．対頂角は相等しい。
２．二等辺三角形の両底角は相等しい。
３．２つの三角形で、その１組の内角と、それらを夾む２辺とがそれぞれ等しければ、２つの三角形は合同である。
４．２つの三角形で、その１組の辺と、その両端における２つの内角とが等しければ、２つの左三角形は合同である。
５．円において、その上の１点を一つの直径の両端に結ぶ２つの弦は互いに直交する。
 
　Thalēs(タレス)は上の定理３を用いて、間に山または池があって直接謀ることのできない２地点Ａ、Ｂ間の距離を測った。ＡとＢを見通すことの出来るような点Ｏをとり、ＡとＯを結んで、それをAOの方向へ延長し、その上に　AO＝OC　であるような点Ｃをとる。つぎにＢとＯを結んで、それをBOの方向へ延長し、その上に　BO＝CO　となるような点Ｄをとる。(図Ⅰ参照)
　このとき、⊿AOBと⊿CODとにおいて、∠AOBと∠CODは対頂角であるから、上の定理１によって相等しい。すなわち、　∠AOB＝∠COD　また、作図によって、　AO＝OC, BO＝OD
したがって、⊿AOBと⊿CODは、その１組の内角と、それらを夾む２辺とかそれぞれ等しい。したがって、定理３によって、⊿AOB≡⊿COD　である。　∴　AB＝CD
したがって、CDを実測すれば、ABの長さが得られるのである。
 
　また、彼は上の定理４を用いて、岸の一点から沖の船までの距離を測った。
　岸の上に直線で結ぶことの出来る２点Ａ、Ｂを定め、ＡとＢで沖の船Ｃを観測して、∠BACと∠ABCを測る。
　岸の方へ　∠BAC＝∠BAD　　∠ABC＝∠ABD  であるような点Ｄを定める。（図Ⅱ参照）
　この時、⊿CABと⊿DABにおいて、辺ABは共通であるから、１組の辺は等しく、その両端における内角はそれぞれ等しくなっている。したがって、上の定理４によって　⊿CAB≡⊿DAB　である。
　∴　岸上でADの距離を実測すれば、岸の１点Ａから船Ｃまでの距離を見出すことが出来る。
 
　また、上の定理５を用いれば、直線ℓ上の１点Ａで、これに垂線を引くことができる。
　この点Ａを通る任意の円を描いて、この円が直線ℓと再び交わる点をＢとし、Ｂを通るこの円の直径の端をＣとすれば、ACはℓに垂直である。（図Ⅲ参照）
　しかし、この定理５は、タレスの発見であるとも、ピタゴラスの発見であるとも言われている。