オイラー方陣 １

 　1779年、Leonhard Euler（レオンハルト・オイラー、1707～1783年、スイスの数学者）は行列の性質を研究するために36人の士官問題を考案した。
　小さな王国でのことである。６個の連隊（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ）から６階級の士官（大佐、中佐、少佐、大尉、中尉、少尉）を１名ずつ呼び集めて、36人を各列６人ずつの６列縦隊に整列させる。この正方形の隊列は方陣をなすが、縦に見ても横に見ても、同じ連隊の士官、又同じ階級の士官が一線に並ぶことがないようにすることが出来るかどうか？　というパズル的問題である。Euler自身はその様な配列の不可能なことを感じ取っていたようである。
 
　ここで数６を一般のｎで置き換えた問題を取り上げると、ｎ種類の記号Ａ₁、Ａ₂、……、Ａn　および他のｎ種類の記号ａ₁、ａ₂、……ａn　が与えられたとして、Ａiａj　の形の組み合わせｎ²個をｎ行ｎ列の正方形に配列して、各行各列において、第１成分Ａiにも、第２成分ａjにも重複が起こらないようにしたものを「ｎ次オイラー方陣」と名付ける。
　すぐに確かめられるように、２次オイラー方陣は存在しない。６次のオイラー方陣が上に述べた「士官36人の問題」に当たる。
　Eulerは1782年に　ｎ＝２、６、10、14…、　すなわち　ｎ＝４ｍ＋２　の形の場合に、オイラー方陣は存在しないとする推測を発表した。Eulerの権威のために長い間、広くそのように信じられてきた。
　それ以外の場合、つまりｎが奇数、あるいは4の倍数の場合のオイラー方陣は簡単に作ることができる。先ず３次の魔法陣は亀書図あるいは九宮図として太古からしられている。
　ここでこの３次の魔法陣の各数から１を引いて０から８までの数に直し、さらに三進法で、00、01、……、22で表わせば、３次のオイラー方陣になる。（左図参照）