オイラー方陣 ３

 　東山・西川・南野・北原の４家族からそれぞれ、父親・母親・息子・娘の４人が集まって計16人で麻雀大会を開くことになった。テーブルを４卓準備して同時にゲームを進めたいのであるが、組み合わせに次の条件を付けることにした。
条件：どの卓にも東山・西川・南野・北原の家族の誰かが居り、しかも、父親・母親・息子・娘が１人ずつ参加していること。
　この条件を満たす組み合わせは左の1図の通りで、同じテーブルに着くのは、縦の列の４人でも横の行の４人でも良いわけである。すなわち、４次オイラー方陣になっている。オイラー方陣のいわれは、18世紀の数学者Eulerが「士官36人の問題」を出したことに拠ることは、先日説明した通りである。
　１図の組み合わせで、各家庭だけに目を向ければ、２図が得られ、どの行、どの列にも東山(１)、西川(２)、南野(３)、北原(４)が含まれている。同じように父、母、息子、娘だけに注目空けば、３図が得られ、やはり各行、各列に父(１)、母(２)、息子(３)、娘(４)が含まれている。
　どの行、どの列にも異なるものが１つずつ含まれている組み合わせを「ラテン方陣」という。ラテン方陣の名はEulerによるもので、記号としてラテン文字（ローマ字）を用いたことによるといわれている。
 
　左図のように、２図、３図のラテン方陣を数字で表わすことにすると、２’図、３’図のように見易くなる。そして、オイラー方陣の表わし方も４図のようになり、１～４の数を使った２桁の組み合わせ16個が洩れなく１個ずつ勢ぞろいするのである。
　この表わし方を用いると、ｎ次のオイラー方陣とは「１～ｎまでの１桁の数字で表わした２つのラテン方陣を重ねたとき、２桁の数字がどれも１回ずつ現われているもの」と定義できるのである。