12本のマッチ棒４

 　昨日の午後２時14分、西宮在住のYK氏からFAXが入った。曰く、
「八十路の『水門』２拝受／標記頂きました。ありがとう。先ず哀しくなりました。というのは皆80才になったかということです。／その後読み進む内に嬉しさ、喜びに変わりました。／皆さん八十路を楽しんでいます。／勇気と元気を頂きました。／関東の各位に負けないよう、頑張ります。／まずは八十路の『水門』２拝受、お礼を申し上げます。（以上）」
 
　これまでの考察では12本のマッチ棒で面積が１～９までの図形を作ることができたので、つぎは面積を増やすことを考えてみよう。
　12本のマッチ棒で囲める最大面積の図形は正十二角形であることは直感的に明らかである。厳密な証明も必要であろうが、かなり煩雑になりそうなのでここではやらないことにしよう。
　マッチ棒で正十二画形を作ることはさほど難しい事ではない。左図のように正十二角形は１辺の長さが等しい12個の正三角形と６個の正方形から出来ている。したがってまず中央の正六角形を作り次に各辺の上に正方形をつなげ、最後に正三角形を埋めれば作れる。
　この正十二角形の面積Ｓは個々の正方形の面積は１、正三角形の面積は√３／４であるから、
　Ｓ＝１×６＋√３／４×12＝６＋３√３≒11.2　となる。
　したがって、整数値の面積としては10と11が考えられる。
 
  　いま、正十二角形を構成する６個の正方形をそれぞれ少しずつゆがめてすべてが同じ形の菱形になるようにすると、部分的に左図のような図形が出来るが、面積も当然減ることになる。ひし形の高さをｘとすれば、12個の正三角形の面積は全く変わらないため、この十二角形の総面積Ｓ’は
　　Ｓ’＝６ｘ＋２√３　となり、面積が10、11の時のｘを求めることもできる。
　部分的にはマッチ棒で求めたｘの長さを作ることもできるので、原理的には面積10、11の図形も作ることは出来ることになるが、現実的には派生的な問題が色々とでてきて、エレガントな作り方はないようである。　いま、正十二角形を構成する６個の正方形をそれぞれ少しずつゆがめてすべてが同じ形の菱形になるようにすると、部分的に左図のような図形が出来るが、面積も当然減ることになる。ひし形の高さをｘとすれば、12個の正三角形の面積は全く変わらないため、この十二角形の総面積Ｓ’は
　　Ｓ’＝６ｘ＋２√３　となり、面積が10、11の時のｘを求めることもできる。
　部分的にはマッチ棒で求めたｘの長さを作ることもできるので、原理的には面積10、11の図形も作ることは出来ることになるが、現実的には派生的な問題が色々とでてきて、エレガントな作り方はないようである。