百五減

 百五減
　３～５世紀頃成立したといわれている中国の算術書『孫子算経』には、以下のような問題とその解答が書かれている。
　今有物、不知其数。三・三数之、剰二。五・五数之、剰三。七・七数之、剰二。問物幾何？
答曰：二十三。
術曰：『三・三数之、剰二』、置一百四十。『五・五数之、剰三』、置六十三。『七・七数之、剰二』、置三十。并之、得二百三十三。以二百一十減之、即得。凡、三・三数之、剰一、則置七十。五・五数之、剰一、則置二十一。七・七数之、剰一、則置十五。一百六以上、以一百五減之、即得。
〈訳〉今物が有るが、その数はわからない。三つずつにして物を数えると、二余る。五で割ると、三余る。七で割ると、二余る。物はいくつあるか？
答：二十三。
解法：三で割ると、二余る数として、百四十と置く。五で割ると、三余る数として、六十三と置く。七で割ると、二余る数として、三十と置く。これらを足し合わせて、二百三十三を得る。これから二百十を引いて、答えを得る。一般に、三つずつにして物を数え、一余ると、その度に七十と置く。五で割った余りに二十一をかける。七で割った余りに十五をかける。百六以上ならば、百五を引くことで、答えを得る。
 
　この問題がいつ頃から知られていたかについては定かではない。この問題は、『孫子算経』とともに日本にも伝わり、後和算の隆盛した江戸時代には、「百五減算」として知られた。
　吉田光由（よしだみつよし、1598～1672年）が著したといわれる「塵劫記（1627年刊）」にも次のように記載されている。
 
問題 第十三　百五げんといふ事
　▲半（は）ばかりをきゝてかづを云事なり。先（まづ）七づゝ引（ひく）時、二つ残ると云。又五つひく時、一つ残ると云。又三づゝ引時、二つ残ると云時に、此半（は）ばかりを聞（きき）て惣数を知る。
回答 惣数八十六あるといふなり。
　先（まづ）七づゝ引時の半一つを、十五づゝのさん用に入（いれ）、三十とおき、又五づゝ引時の半一つを、二十一と入て置（おく）。又三づゝの時の半（は）を、一つを七十づゝのさん用にして百四十と入て、三口合（あはせて）百九十一有時、百にあまる時には百五はらい、のこり八十六あるといふなり。
 
　石の山を見てその石の総数を当てる問題で、７個ずつとりさっていけば２つ残り、５つずつ取り去れば１つ残り、３つずつ取っていけば２余るという時に、その石の総数86を当てるのである。
　余りの数だけで３と５と７の最小公倍数105について、mod 105 で答えを出さねばならない。
　３で割り余りが１になる５と７の公倍数の最小値は　70
　５で割り余りが1になる３と７の公倍数の最小値は　21
　７で割り余りが1になる３と５の公倍数の最小値は　15　を用意すれば、総数Ｎについて、mod　3とする時の余りをa、mod 5とする時の余りをb、mod 7とする時の余りをｃであるとすれば、
　Ｎ≡ａ（mod 3）、Ｎ≡ｂ（mod 5）、Ｎ≡ｃ（mod　7）
　∴　Ｎ≡70ａ＋21ｂ＋15ｃ（mod 105）
　この塵劫記では　ａ＝２.　ｂ＝１、　ｃ＝２　であるから、
　Ｎ≡70×２＋21×１＋15×２＝191　となり、191から105を出来るだけ引いて86を答えることができる。
 
　初めの孫子算経の場合だと、ａ＝２、　ｂ＝３、　ｃ＝２　であるから、
　Ｎ≡70×２＋21×３＋15×２＝233　となり、233から105をできるだけ引いて、23を求めることが出来る。
 
　ある人の年齢は３で割ると1余り、５で割ると２余り、７で割ると５余る。はてさて、この人の年齢を当ててもらいたい。