油分けの問題

 　油、酒、醤油のようなものを、与えられた容器だけを用いて等分する問題が、「油分け算」である。吉田光由の著した『塵劫記』に、こんな問題がある。
　「斗桶に油が１斗（＝10升）ある。これ二人で分けるのだが、７升ますと３升ますしかない。この二つだけで、５升ずつ等分してほしい。」
　そのやり方としては、まず３升ますで３杯７升ますへ入れると、３杯目は３升ますに２升残る。そこで、７升ますの油を斗桶に戻し、３升ますに残った２升を７升ますに移す。そうしてから、もう１回斗桶から油を３升ますに入れ、これを７升ますに加えれば、７升ますと斗桶に５升ずつあることになり、これで等分されたことになる。
　この油分け算は、『塵劫記』以前の日本の文献には見当たらないし、中国の文献にも見当たらない。しかし西洋には古くからあるので、キリスト教の宣教師が伝えた可能性もあるが、これと同一の問題が見当たらないので、断定はできない。あるいは何かがヒントになって、日本で作り出されたのかもしれない。
 
　西洋には、13世紀の中頃にはすでにこの種の問題があったといわれている。Claude-Gaspard Bachet 〔クロード=ガスパール バシェー、1581～1638年、フランスの数学者〕の著した『数学遊戯問題集』（改訂増補版、1624）には、８パイントのワインを、５パイントと３パイントの容器で等分する問題が載っている。また、16バイントを９パイントと７パイントの容器で、同じく16を11と６の容器で、42を27と12の容器で等分する問題も載っている。そして、いずれも解法が２つずつしめされている。西洋の問題は、いずれもワインや精油を等分する問題になっている。
　油分け算を解く一般的なルールは次の通りである。Ａ、Ｂ、Ｃ、３種類の容器があって、Ａ＞Ｂ＞Ｃだとすると、
(1)Ｂが空なら、Ａの油をＢに満たす。
(2)Ｂに油が入っていたら、次のどちらかを行う。
(ｲ)Ｃが一杯でなければ、Ｂの油でＣを満たす。
(ﾛ)Ｃが一杯なら、それをＡにあけてから、(ｲ)を行う。
　以上の操作を繰り返せば自然に解が得られる。
 
　油分けの問題について、1939年、Tweedie(ツイーディー)という人が、《Mathematical Gazette》誌で、グラフを用いる巧妙な方法を紹介している。図(左)は『塵劫記』の問題をグラフにしたもので、х軸は３升ます、у軸は７升ます、斜め方向に書かれている数は、斗桶に入っている油の量を示している。出発点はｘ＝０、y＝０の点、つまりＤであり、目的地はｘ＝０、y＝５の点(○印)である。
　１回の移動は直線状を行けるところまで行くこととし、途中で止まることは出来ない。まずＤからＡへ動かし、次にｘ＝０、ｙ＝３の点へ、さらにｘ＝３、y＝３の点へ動かす。このようにして、目的地に到達するまでのコースを示したのが、図(右)である。この結果は塵劫記にある結果と一致する。
最初ＤからＡＣに行かずＣに行くコースも当然考えられる。これによって別解を得ることが出来る。