ピタゴラス学派の業績１

 　昨夜、携帯にメールが入った。曰く、「今先生のブログを拝見しようとパソコンを立ち上げたところ、変な宣伝がコメント欄にならんでいるので腹がたちました。せっかく高尚なブログなのに、一人で激怒しています。私に削除する事は出来ませんが、目障りでないように私の過去のつぶやきを再度送信して最新コメントから消そうと思います。／バカは死ななきゃ治らないでしょうから。Ｋより〓」
　早速パソコンを開いてみると、成程、まさしく｢変な宣伝｣が並んでおり、Ｋ女史の過去のコメントも、所狭しとぎっしりと記載されていた。不必要なコメントを一度に消す方法がわからないので、一つずつ取り出してはいちいち削除キーを押して消した。かなり時間をかけて不必要なものを全部消去したが、こんなのを防止する方法はないものか？　とにかく、携帯メールで返事しておいた。曰く、「コメントへの書き込みの様子を知らせてくださってありがとう。／早速不要な書き込みは消去しておきました。／今日の貴方の「つぶやき」は23としてブログ集に搭載させていただきます。／まずは、お礼と不要コメント消去のお知らせまで　日高より」
　折り返し、携帯へ返事が入った。曰く、「わざわざお知らせ下さりありがとうございます。／心がスッキリしました。／先生のブログは本当に素敵です。／これからも拝読して少しでも知識を増やしていきたいと存じます。／毎日のご教授、感謝しております。〓Ｋ〓」
　今朝ほどパソコンを開くとまたもや16個の「変な宣伝コメント」が入っていた。昨夜消去したばかりなのに、またもや長い時間をかけて消去したが、本当に困ったものだ。
 
　ピタゴラス学派は数論、幾何学、そして音楽にまで多くの見事な仕事を残している。以下これらの業績について述べてみよう。
１．数を偶数と奇数に分類した
(自然)数のうち、２、４、６など２で割り切れ、2n (ｎ は整数)の形で表すことができる数（10進法では一の位が０，２，４，６，８のいずれかである数）を偶数とし、(自然)数のうち、１，３，５など２で割り切れない、2n-1（ｎ は整数）の形で表すことができる数（10進法では一の位が１,３,５,７,９のいずれかである）を奇数とした。
２．１から連続した奇数の総和が平方数になることを発見した。
　奇数を１から順に第ｎ番目の奇数2n－1まで加えたものがｎの平方になることを図のようにMonad〔モナド、単子〕を並べて証明した。




３．三角数・四角数を初めて名付けた。
　triangular number〔三角数〕とは多角数で、正三角形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数に合致する自然数である。n番目の三角数は1から n までの自然数の和に等しい。
図のように正三角形の形に並べて表すことが出来るので、このような数を三角数と呼んだ。
　square number〔平方数〕とは、ある整数の２乗（平方）で表される整数のことである。square number〔四角数〕とは、正方形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数に合致する整数のことである。表現が異なるが、実際には２つの概念は一致する。
　さらに、ピタゴラスは図Ａのように、隣り合う２つの三角数の和は四角数になることに気づき、それを図Ｂのように考え証明した。
　※四角数〔平方数〕のうち、三角数でもある自然数をsquare triangular number〔平方三角数〕といいう。36は６番目の平方数６の平方であり、また８番目の三角数8(8+1)／2 であるから、平方三角数である。平方三角数は無数にあり、最小のものは１である。平方三角数を小さい順に列記すると、
1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, …　となる。
　平方三角数を求める公式は、オイラーが発見している。

　※Leonhard Euler〔レオンハルト・オイラー、 1707～1783年〕は数学者・物理学者であり、天文学者（天体物理学者）である。スイスのバーゼルに生まれ、現在のロシアのサンクトペテルブルクにて死去した。
４．完全数を見つけた。
　ある整数が、自分自身を除くそのすべての約数の和に等しいとき、これを完全数と呼んだ。　６の自分自身を除く約数は、１，２，３であり、
　　　１＋２＋３＝６　であるから、完全数である。
　28の自分自身を除く約数は、１，２，４，７，14であり、
　　　１＋２＋４＋７＋14＝28　であるから、28もまた完全数である。
　新ピタゴラス学派は、最初の完全数が６ であるのは「神が６日間で世界を創造した」こと（天地創造）、次の完全数が 28 なのは「月の公転周期が28日である」ことと関連があると考えていたとされる]。
　※新ピタゴラス学派：BC１世紀からAD２世紀にかけてローマとアレクサンドリアを中心として興った哲学の一派。ピタゴラスを神聖視し、その学説を中心に東方の宗教思想およびプラトン・ペリパトス学派（逍遥学派）・ストア学派などの思想を折衷したという。
　なおこれに関連して、約数の和を考えることで特徴付けられる数の種類には他にも次のようなものがある。完全数と併せて、これらの名称には古代ギリシャの数秘学の影響が見られる。
(1) deficient number (不足数) ：その数を除いた約数の和がその数より小さいとき、この数を不足数という。この不足数の定義は「その正の約数の総和が元の数の2倍より小さい数のことである」ともいえる。
　例えば、15の約数の総和は １＋３＋５＋15＝24＜15×２ であるので15は不足数である。もしくは「15の自身を除く約数の総和は １＋３＋５＝９＜15 であるので15は不足数」と考えてもよい。不足数を1から小さい順に列記すると
１, ２, ３, ４, ５, ７, ８, ９, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, …
(2) abundant number (過剰数) ：その数自身を除く正の約数の総和が元の数より大きいとき、この数を過剰数という。この過剰数の定義は「その正の約数の総和が元の数の2倍より大きい数のことである」ともいえる。
例えば20の約数の総和は１＋２＋４＋５＋10＋20＝42＞20×２ であるので20は過剰数である。もしくは「20の自身を除く約数の総和は １＋２＋４＋５＋10＝22＞20 であるので20は過剰数」と考えてもよい。過剰数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小のものは12である。過剰数を12から小さい順に列記すると
12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …
(3)友愛数 (amicable number) ：異なる2つの自然数の組で、自分自身を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるような数を友愛数(または親和数)という。一番小さな友愛数の組は(220, 284)である。
　220の自分自身を除いた約数は、1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110で、和は284となる。
　一方、284の自分自身を除いた約数は、1,2,4,71,142で、和は220である。
　現在まで知られる友愛数の組は、すべて偶数同士または奇数同士の組である。友愛数はピタゴラス学派の時代にはすでに知られていたという。
　(220, 284)の次に求められた友愛数は(17,296、18,416)である。この友愛数はそれ以前にも求められていたが、フェルマーにより再発見された。その後、オイラーにより60組余りの友愛数が求められているという。
(4) sociable number (社交数)：友愛数の発展内容で、異なる３つ以上の自然数の組である。
　(12496,14288,15472,14536,14264) の5つの数字の組は社交数である。
・（12496）／（1、2、4、8、11、16、22、44、71、88、142、176、284、568、781、1136、1562、3124、6248）：12496の約数の和は14288である。
・（14288）／（1、2、4、8、16、19、38、47、76、94、152、188、304、376、752、893、1786，3572、7144）：14288の約数の和は15472である。
・（15472）／（1、2、4、8、16、967、1934、3868、7736）：15472の約数の和は14536である。
・（14536）／（1、2、4、8、23、46、79、92、158、184、316、632、1817、3634、7268）：14536の約数の和は14264である。
・（14264）／（1、2、4、8、1783、3566、7132）：14264の約数の和は12496である。