鴛鴦の遊び ２

 　中根彦循が『勘者御伽双紙』に「鴛鴦（えんおう、おしどり）の遊び」を書いて、140年ほど経った1884年に「Taitの問題」が書かれている。
　昨日のブログで示したように、「鴛鴦の遊び（黒白３個ずつ）」では３手で並べ替えが完了し、「Taitの問題（黒白４個ずつ）」では４手で並べ替えが完了する。
　黒白がそれぞれ５個、６個、７個の場合は、左図の通り、番号順に動かすと、目先が開けてくるだろう。
 
　黒白がそれぞれ８個ずつの場合も、左図のように出来る。まず、両端付近で細工をしてから、中央の部分を４個ずつの場合の手順で並べ替えて、最後に両端を処理するのである。９個ずつの場合も同じように、５個ずつの場合の手順を使えばうまく行くであろう。こうして、いくらでも石の数を増やすことが出来、黒白の石がそれぞれｎ個ずつのばあい、ｎ手で並べ替えが完了出来るのである。
 
　黒白３個ずつの場合、４手で左の図のように、元の場所に並べなおすことが出来る。
　手数に拘らなければ、２図のようにして、黒白が幾つずつでも元の場所に並べなおせるのである。


　このような問題を解く場合、最初はどうしてよいか見当もつかないから、適当に色々動かしてみて、失敗を繰りかしているうちに、いつか思いがけもなく解けてしまうものである。しかしながら、一度成功したぐらいでは、どの道を通って来たのか全く思い出せないことが多く、さらに何回も繰り返してから手順発見に至るようである。これがパズルの楽しみなのであるが、見つけた解が果たして最少の手数のものであるかどうか、他にもやり方があるのではないかと気になるものである。完全に確かめるには、組織的に“しらみつぶし”に試してみるか、理論的な証明を考えなければならない。

 

鴛鴦の遊び １

　鴛鴦（えんおう、おしどり）の遊びというのは、白石ｎ個、黒石ｎ個を交互に並べたものを鴛鴦（おしどり）が番（つが）いで並んでいる姿に見立てて、これを雌雄別々に並ぶようにする遊びである。ただし、石を動かすには、隣合った二つの石を同時に動かさねばならない。 

　この問題は中根彦循の『勘者御伽双紙』（1743年）にｎが３の場合が載っている。原文には解答が「四五を取り七八へ」というように文章で書かれているが、見やすいように図で示すと、左図のようになる。つまり、アンダーラインの引いてある石を順に右の方へ移していけばよい。
 

　西洋では、この問題をテートの問題と呼んでいるが、それはイギリスの物理学者P.G.Tait（テート、1831～1901年）が1884年に論文を発表したことによる。テートは金貨と銀貨各４枚を交互に並べたものを別々にする形にしている。
　一般にｎ個（ｎ≧４）の場合、隣に空所が２個分あれば、ｎ回の移動で並べ替えることが可能である。ｎが３の場合だけは、もし隣に２個分の空所しかなければ、４回移動させる必要がある。ｎが４の場合のやり方を左にに示した。
 
　鴛鴦の遊びは入れ替え問題の古典であるが、入れ替え問題は非常に数が多く、カエルの入れ替え、汽車の入れ替え、自動車の入れ替え、将棋の入れ替え等、枚挙にいとまがない。
 
　ここではもう一つ、カエルの入れ替え問題をご紹介しよう。
　１から４までの番号のついた４匹のカエルが左の「カエルの入れ替え問題」の上図ようにはすの葉の上に左から番号順に並んでいる。これらのカエルは、隣の葉が空いていればそこに移ることができる。また、隣の葉にカエルがいて、その向う側の葉が空いている場合、隣のカエルを飛び越して、空いている葉にうつることが可能である。
　それでは、このカエルを今並んでいるのと逆の順序、つまり４３２１と並ぶようにするには、どうしたらよいだろうか。ただし、２匹以上のカエルを１度に飛び越えたり、同じ葉の上に２匹のカエルが乗ることは許されない。
　この問題を解くには、このままで考えるより、下図のＡのようなカエルの移動が可能な路線図を作ってみる方がよい。これからＢのようなルート図ができるので、あとはこのサイクルを回転していけばよい。解は、３、１、２、４、３、１、２、４、３、１（10手）。

春一番

　今朝のウェブニュースより
　関東に春一番 ―― 首都圏では１日、暖かい南風が強まり、気象庁は「関東地方に春一番が吹いた」と発表した。東京都心（北の丸公園）では最大瞬間風速１６．８メートルの南南西の風を観測。気温も都心（大手町）で午前中に１６．３度まで上がり、曇りで日差しはないものの、４月上旬並みの陽気となった。／春一番は、立春の後に吹く最初の南寄りの強風。１０分間の平均風速８メートル以上で、気温も上がった場合に春一番とされる。昨年は、春分の日までに条件を満たす風が吹かなかったため「観測なし」だった。  （東京新聞　2013年3月1日 夕刊）
 
　何人かの人から関東地域新年会の冊子「八十路の『水門』」が着いたとの電話があった。メール・手紙を送ってくれた人は次の通り。
　野崎逸郎発　２月23日（土）13：39　発信
　日高　節夫　様／只今（13：07）一階の集合ポストに、掲題記念冊子、拝受。お手数ありがとうございました。／当地区は、外の神奈川県地区と違って、最後に分割された区のせいか、それとも集合住宅のせいなのか、ここ数年、郵便と宅配便の配達がとても遅くなったのです。／きのう、海老名の鈴木君から、掲題冊子の到着電話をもらったのですが、我が家は結局、きのうの最終便では着きませんでした。／君にお礼を言うのをさぼっていたわけではなく、正直、先刻、到着いたしましたので、すぐさまパソコンに向かってお礼を記しているのです。／身体に無理して作ってくれた冊子ですから、いち早くお礼を申しあげる積りでいましたが、遅くなって申訳ありません。／さて花見の日程ですが、3月下旬は、すべて水門会の花見最優先で、空けてあります。外の大勢の皆さんの日程に従います。／まずは御礼、依って件の如し。急々如律令。江藤君のいんどう（犬童？）のおじさんを思い出すね。
　山本幹男発　２月23日（土）　22：50　発信
　日高　様／本日、”八十路の「水門」”拝受しました。いつものことながら貴兄には水門会のことでは一方ならぬご尽力をいただき、感謝あるのみです。／今回は又、「八十路の水門」の編集・製本では格別立派な冊子となり誠に有難く思います。水門会のメンバーがこの齢になっても皆集まって旧交を温め合う機会が持てるのもこのような冊子の存在があるからと思います。／なかなか暖かくなりませんが桜の開花予想は例年とあまり差がないようですね。隅田川の花見会ではまた貴兄に何かと面倒をかけることになると思いますが楽しみにしています。／とりあえず冊子受領の報告とお礼を申し上げます。／　朝晩の冷え込みが厳しいようです。くれぐれもお体にはご自愛ください。
　大塚節雄　２月25日（月）　12：18　消印
　いつもながらの素晴しいお便りありがとうございます。／皆様お元気の様子何よりです。私、日々進行するボケと仲良く付き合っております。／先日、田代、床田益通両君のご家族より相談を受け、すぐの入院加療を助言し、病院にも面会に行きましたが、主治医に会えませんでしたのでくわしいデーターその他わかりませんが、かなり悪いなとの印象をうけました。しかし、その後特に知らせがないところをみると元気にやっているかと思っております。／久保君も先日来院、相談を受け、腸の腫瘍かと思われる所見が見つかりましたので、入院、精査、手術をすすめ近くその予定です。／皆トシです。何かあっても不思議ではないと思いますが……／仕方ありません。行きつくまで頑張りましょう。／近く恒例の花見をやろうと気運が高まっています。　大塚

桂馬跳びパズル ２

 　左の図のようなマス目を紙に描いて、点のところに碁石かおはじきを置いて石とし、この石を桂馬跳びで拾いつくしてみよう。ここに挙げた問題は、いずれも終点から出発点に戻ることが出来る。この問題は1941年ごろ、日本人によって考案されたものだという。

 
　もうひとつ、ソリティア盤に1ヵ所だけを空けて、残り全部の目に石を置き、これを全部広い尽くしてみよう。左の図は、空所を中央に置いた場合と、端に置いた場合との解答である。空所をどこにおいても周遊できるのだろうか。
 

　動き方を検討するのに、先にやったようなルート図を作るとよさそうであるが、これがなかなかの難事業で、左のようにソリテア盤に番号をつけて、ルート図を作ってみると、複雑なものになってしまう。

 

桂馬跳びパズル １

　チェス（西洋将棋）にナイト（騎士）というコマがあり、馬の首を象ったものもの（左図参照）である。12世紀頃に作られた古いコマでは、馬に跨った騎士の形をしていたが、後世になって騎士が省略されたものらしい。
　ナイトの動きはいわゆる「桂馬跳び」で、日本将棋の桂馬のように２コマ先の隣へ一気に飛ぶことができる。桂馬より行動が自由で、前方ばかりでなく、四方八方に跳べるのである（左図）。このナイトがチェス盤のすべてのマス目を１回ずつ訪問する周遊の問題は、古くから多くのパズル愛好家が手がけてきたという。
　マス目が２×２の盤では、ナイトの周遊はできないのは当たり前であるが、３×３の盤でも無理なのである。中央の目にナイトがいたとすると、他のどの目にも行きようがない。逆に中央の目にはどこからも生けないということである。ただ中央が「目ではなく中空」と解釈すれば、周遊が出来、しかも終点から出発点まで、戻ることも出来るのである（左図）。
 
　左図のような４×４の盤では、４隅（Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）から桂馬跳びで出たり、逆にここに入ったり出来る目は、中央のａ、ｂ、ｃ、ｄの４マスだけである。周遊して元の場所に戻ってくる場合には、どの目にも往路と復路の２本が必要であるから、隅と連絡できる目は全部で８個が必要となる。それが４個ではどうしようもない。元に戻らなくてもよければ出発点には復路が、終着点には往路が不要であるから、目は６個でよいのだが、４×４の盤ではどうにもならない。
 
　ところが、３×４の盤でなら、周遊できるのである。この場合跳び移れる関係を整理すると、左図のようになる。この図を使えば、簡単に周遊コースが見つかる。コースは次ぎのように16通りあることになる。ただし、元のところへ戻ることは出来ない。
（１）　１→７→９→２→８→10→３→５→11→４→６→12
（２）　１→７→９→２→８→10→３→12→６→４→11→５
（３）　９→７→１→10→８→２→11→５→３→12→６→４
（４）　９→７→１→10→８→２→11→４→６→12→３→５
（５）　８→10→１→７→９→２→11→４→６→12→３→５
（６）　８→２→９→７→１→10→３→12→６→４→11→５
（７）　５→３→12→６→４→11→２→９→７→１→10→８
（８）　５→11→４→６→12→３→10→１→７→９→２→８
（９）　５→11→４→６→12→３→10→８→２→９→７→１
（10）　５→３→12→６→４→11→２→８→10→１→７→９
（11）　12→６→４→11→３→５→10→８→２→９→７→１
（12）　12→６→４→11→５→３→10→１→７→９→２→８
（13）　４→６→12→３→５→11→２→８→10→１→７→９
（14）　４→６→12→３→５→11→２→９→７→１→10→８
（15）　８→２→９→７→１→10→３→５→11→４→６→12
（16）　８→10→１→７→９→２→11→５→３→12→６→４
 
　５×５の盤でも３×４と同じ要領で左のようなルート図が作れる。これを見れば、周遊のコースがすぐに見つかる。例えば、1から出発して、８→５→14→25→……→12と外枠を1周し、中枠に移って19→10→３→６→……→22と回り、最後に13に行けば完了である。
 
　５×５のように目の数が奇数の盤では、終点から元の位置に戻ることは出来ないのである。この理由はチェス盤を１つおきに黒の色を塗って市松模様にすると、ナイトは１つ跳ぶごとに白→黒→白→黒とちがった色の目に移どうする。したがって、もし白の目から出発すれば、５×５の盤の最後の目25番目の目も白ということになる。最後の白い目から、出発点の白い目には戻れないということである。

東京マラソン

　今朝のネットウェブより
　東京マラソン2013　一般ランナーも東京の街を駆け抜ける ―― 日本最大の市民マラソンである東京マラソン。一般ランナーも、東京の街を駆け抜けた。／思い思いの格好をした、一般参加のランナーたちは、スタートの時が待ちきれない様子だった。／どこかで見たことのある、あのキャラクターや、猫、かっぱの着ぐるみなどなど、奇抜な姿で走るランナーたちが、沿道の人たちを楽しませていた。／また、配給所には、トマトやバナナが用意され、疲労したランナーの体を癒やした。／配給所では、滑りやすいのか、上手につかみきれない人の姿も目立った。／走るスピードが早すぎて、トマトを取り落としてしまう人もいた。／折り返し地点の浅草・雷門では、ランナーを応援するパフォーマンスも行われた。／そして、ゴールの東京ビッグサイト。
ランナー1人ひとりが、それぞれの42.195kmを楽しんだようだった。／参加したランナーは、「6時間を目標に走ったんだけど、5時間何分で大満足です」、「達成感で、最後は涙が出そうでした」と話した。／猪瀬都知事は「東京オリンピック・パラリンピック(招致)に向けて、東京マラソンに参加している人のこれだけの盛り上がりが、やっぱり日本人は本当にスポーツ好きなんだなっていうのが、よくわかりました」と話した。　　（フジニュースネットワーク　最終更新: 2013/02/25 02:23）
 
　昨日２月24日は東京マラソンの日。気温こそ低かったが、天気は上々。
　かつての兼愛塾の塾友３人nabeちゃん、takayaくん、mitsuhiroくんが参加することが出来たという。期せずして３人ともこの爺婆で仲人を務めさせて貰った塾友なれば、応援に力が入る。
　午前９時から８チャンネルで実況放送が始る。間もなくして、携帯にメールが入る。
　kayo女史からである。曰く、「3人の番号は連絡いきましたでしょうか？　番号は　隆哉――24271　光広――44387　ナベ――40197　です。／今年は道代さんが旅行で来られないので、３人を探すのは大変です。／又連絡します　m(__)m」
　早速、パソコンを点け、インターネットの「東京マラソン」から、ランナーの３人の記録を追跡することにした。パソコンを付け電子メールを開くと、chabo女史からメールが入っていた。曰く、「おはようございます〓／快晴ですか。皆さんの快走を応援しています。頑張れです。／私は、束の間介護から解放して頂き、友人4人で沖縄に来ています。今日は、肝高（きむたか）の阿麻和利（あまわり）を見て来ます。／皆様にエールを送ってます。　　(^-^)m-muToh〓」
 
　パソコンの記録によると、３人ではtakayaくんがトップと思ったが、どうやらBib Number 順にスタートするらしい。takayaくんとmitsuhiroくんとでは20000も違うから、takaya・nabe・mitsuhiroの順は至極当然のことだろう。昼近くになって、kayo女史から携帯にメールが入る。曰く、「3人とも15キロは通過しましたね。／検索できましたでしょうか？　 山岸 佳世」
 
　早昼飯を済ませ、婆様は駒形あたりでマラソンを見てくるといって出かけた。爺は先日来腰痛で、その上この寒さじゃとてもじゃないが……　ということで、我が家でパソコンで３人を追跡しながら応援することにした。暫くする携帯に婆様から電話があり、駒形まで来てマラソンを見ているが、人が多くてとても３人を見つけ出すことは出来そうにもなく、それに冷たい風が吹いてくるので、このまま帰宅するとのことであった。 









　マラソン終了後、携帯メールでnabeちゃんの奥方、takayaくんの奥方、mitsuhiroくんに完走したお祝いメッセージを送り、それぞれの記録を貼付し、ブログに掲載することを知らせた。
　まず、mitsuhiroくんからの返信に曰く、「有難うございます。／全く問題ありません。なべちゃんと隆哉が素晴らしい成績で完走しました。／是非一緒に掲載してください。／宜しくお願いします。　ＭＮ」
　Nabeちゃんの奥方からの返信に曰く、「有り難うございます！／何とかゴールまで、走りきりました。／今、帰る途中です‥　知英子」
　Takayaくんの奥方からの返信に曰く、「応援ありがとうございました[m(_ _)m]／たった今足を引きずりながら本人が帰って来ました。／ 完走メダルがとっても嬉しそう〓／最初に転んだみたいです　ＭＳ」

Peg Solitaire ３

 　ペグ・ソリティアの問題をやっていると、奇妙なことに気付く。どんな取り方をしても、最後の石の残る場所はほぼ一定している。話をはっきりさせるために左図のように、ソリティア盤の目に番号をつけておくことにしよう。中央の目、すなわち44の目を空けておくと、最後の１個は44、41、74、47 のどれかに限られる。また、33を空けておくと、38、63，36 のどれかにしか残らないのである。結局最初の並べ方で、決まる性質が保存されているのである。
 
　ここで、左図のようにソリティア盤の目にＡ、Ｂ、Ｃの文字を書き込んで見る。縦または横に連続した３個の目をどこをとっても必ずＡ、Ｂ、Ｃの文字が１個ずつ入っているように記入する。１回の飛び越しで変化が起こるのは連続した３個の目だけで、その３個の目では必ず石が１個とり去られるか置かれるかのどちらかである。そこで盤面全体でＡと書かれた目にある石の数には必ず１個の増減が起こることになる。奇数であったら偶数に偶数であったら奇数に変わる。ＢとＣについても全く同じことが言える。
　中央の目だけ空けたスタートでは、Ａに10個、Ｂ、Ｃにそれぞれ11個の石があるから、Ａ、Ｂ、Ｃは遇奇奇となる。１回飛び越せば奇遇遇に変わり後はこれを繰り返すことになる。したがって最後に1個だけ残ったとすれば、それはＡの目でなければならない。
　Ａ、Ｂ、Ｃの記入の仕方には、１図を左右裏返しにしたものも作れる。これ両者を重ねて２図を作ってみると、最初にAAの目を空けておけば、最後にもAAの目に残ることが判る。すなわち、最初に空けておいた目と同じ記号の場所に石が残ることになるのである。

Peg Solitaire ２

 　ペグ・ソリティアは特別な道具はなくても出来る。ペグの代わりに32個の碁石、もしくは硬貨を使えばよい。まず、紙に左のようなマス目を書いて、中央の目を除いたすべての目にペグの代用物（以下、石と呼ぶ）の碁石もしくは硬貨を置けばよい。昨日のブログで述べた一定の規則で石を１つずつ取っていくと、これ以上は取れないという状態になったとき、残っている石の数が１個なら成功、２個以上であれば失敗ということになる（左図参照）。
 
　この解答は昨日のブログで述べたが、その解答を見ないで実際にやってみると、何時の間にか幾つかの石がバラバラに残ってしまい、なかなか１個にはならない。

　手に負えないようなら、先ず練習として、左図の「小手調べの問題」をやってみると良い。いずれも昔からある問題で、１個だけ残すことが出来る。
　初めの問題（「始める時の石の置き方」）では、中央の目が空いているが、これが出来たら、それ以外の目を1つ空けた状態からスタートしてみるとよい。目は33あるが、回転したり裏返しにしたりして同じ場所に来るものは同じ方法が使えるので、本当に違うパターンは中央も含めて７通りだけである。

　このような問題を解く時、「定石」のようなものをいくつか作っておくと、考えるのに便利である。例えば、左図に示したものは、この枠内だけで、いずれも１個に出来る。これらを（例題）の点線で示した部分に番号順に当てはめていけば、簡単に１個にすることができる。

 

Peg Solitaire １

 　Peg Solitaire（ペグ・ソリテア）は、1716年にドイツの数学者Leibniz（ライプニッツ、1646～1716年）の書いた書簡の中にも出てくるほど古くからあるパズルである。Solitaire とは、「ひとり遊び」ということらしい。

　一般に遊ばれているのは、左にに示した３種類の盤である。この盤のます目の中央に穴をあけてpeg（ペグ）と呼ぶ棒を差し込むか、ます目の中央にへこみをつけて、ball（ボール）を置くようになっている。
　全部のます目にpeg（ペグ）かball〔ボール、以下「ペグ」と略記）を置いたら、１個だけ除いてスタートする。除くのは通常中央である。目的は規則にしたがってペグを順に取り除いていき、最後に１個だけ残るようにすることである。残す場所も、たとえば中央のように指定される場合もある。

　ペグは、左図のようにすぐ隣にペグが１個あり、その向こうが空き地の場合に、隣のペグを飛び越して空き地に移ることができ、その際、隣のペグは取り除かれる。この操作をくり返して、最後に１個だけペグが残るようにするのである。斜めに行くことはできないし、これ以外の方法による移動も認められない。
　Solitaire盤の（Ａ）は日本、アメリカ、イギリス、ロシア等で最もふつうに使われているもので、（Ｂ）はフランスで主に使われている盤、（Ｃ）は前の２つほどは遊ばれていないが、19世紀末の Édouard Lucas（エドゥアール リュカ、1842～1891年、フランス出身の数学者）の本や今世紀前半の本にも載っている。このような古典的な盤以外に、現在では正三角形や正方形のSolitaire盤も何種類か売られているという。
　ところでＡの盤の場合、最後の１個を残すまでに31回の操作が必要であるが、１つのペグを連続して動かした場合にその連続した動作を１手と数えるやり方がある。1963年、H.O.Davisという人が、最少手数15手の解を発表している。ただし、中央の目を空き地にして開始し、最後の１個を中央に残す場合は18手必要である。その解答例を左図にに示した。
 
　なお、こうした本格的なものでなくても、碁石などをある図形に並べて、手軽にソリテア遊びを楽しむこともできる。その一例として左の図「こま（独楽）」をやってみて頂こう。どの石から開始してもよいから、最後に１個だけ残るようにしてほしい。

 

冊子の作成

 　先月17日に行なった関東地域水門会新年会の冊子の編集を終わり、ここ数日はその冊子のプリント・製本に追われ、そのためブログを休んでしまった。
 
　皆さんの投稿の版組みが出来た段階で、横浜のＮ氏にゲラを送り、冊子の校正と、冊子の題名をお願いした。１日置いて、２月13日には、校正したゲラが届き、その添え書に曰く、
「前略、関東地方の水門会・新年会の感想文のゲラお返しします。／冊子の題名はルビつきで　八十路の『水門』　としたいね。／七音でゴロもいい。／ほかに秀作があればボツにしてもらってもかまいませんよ。／草々」
 
　表紙の出来た段階で、メールを持っている諸兄に冊子作成進行状況報告を兼ねて、次のようなメールをしたためた。曰く、
　先日の新年会の冊子の投稿は２月20日をもって締め切り、３月初めには発送いたしたいと存じます。／現在のところ、14名の投稿がございました。／冊子の表紙は添付のように致したいと存じますが、ご意見のある方は遠慮なく申し出てください。／先ずは、お知らせまで　　日高　節夫
 

　反応は２人だけ、返信メールを戴いた。
　Ｉ氏からのメールに曰く、「表紙の絵　今の心境にピッタリです。／“よくぞ此処まで来られたものだ！　　これから何処まで行けるのやら？”／感慨ヒトシオです。／いつもながら編集の妙　恐れ入りました。」
　Ｙ氏からのメールに曰く、「なかなか洒落た表紙で感心しました。タイトルも「八十路の水門」とはカットの絵と合わせてぴったりです。／たいへんお手数をかけて申し訳ないですが楽しみにしています。よろしくお願いします。」
 

　今日は定期の検診日。Ａ医院で検診を受けた足で、花川戸のクロネコでメール便を発送した後、隅田川を散策。隅田公園の梅園では遅咲きの白梅も開花し始めた。その根本には水仙も咲いている。