贋金の問題２

 　この「贋金の問題」は発表と同時に大きな反響を呼び、多くの数学者や数学愛好者を熱中させた。忽ちの内に、さらに一般化した形の「コイン12枚の問題」が創案されて、《Scripta Mathematical》に発表され、海を渡って、イギリスの《Mathematical Gazette》にも、この種の問題がしばしば掲載されるようになったという。その過熱振りは相当なものであったらしく、ドイツの潜水艦を沈めるために使われるべき多くの頭脳が、この遊戯のために消費されたと書く本もあったということである。
　「コイン８枚の問題」がアメリカで発表された時は、不幸にも我が国ではこのアメリカを相手に交戦中であった。我が国で人々がこの問題を知ったのは昭和22（1947）年に『リーダース・ダイジェスト』を通じてであったが、これでは贋金の問題ではなく、ボールの重さの問題になっていた。この問題は我が国でもかなりの問題となったが、以後我が国では贋金の問題が、ボールまたはパチンコ玉の問題として扱われるようになった。
　話をアメリカに戻すと、この「コイン８枚の問題」から発展して、「コイン12枚の問題」となったが、こけは《Scripta Mathematica》1945年９～12月号に載ったH.Grossman（グロスマン）という人の問題であるという。曰く、
　「見かけは全く同じコインが12枚あるが、そのうち1枚は僅かに重さが異なっている。その重さが重いか軽いかを知らずに、３回天秤を使うだけでそのコインを指摘するには、どうすればよいか。」
　この問題は、贋金が本物と重さが違うというだけで、重いか軽いか全くわからないところに難しさがある。
８枚のコインのときと同じように、Ｌを天秤の左側が軽い時、Ｈを左側が重いとき、Ｓを両方がつりあった場合として、コインに１～12まで番号をつけて表わすと、やり方は表１のようにすればよい。
　つまり、最初４枚ずつさらに載せて重さを較べ、釣り合ったらその中の３枚と残りのうちの３枚との重さを較べ釣り合ったら、それも釣り合ったら、本物１枚と残り１枚とを較べる。これで贋金の確認と、本物より重いか軽いかが決定できる。……という具合に、各場合についてやっていけばよい。この方法は順に贋金を選（え）り出していく「逐次選別法」である。
 
　「８枚のコインの問題」で述べたと同じように、機械的に３回の試行を行なって、その結果から贋金を判別する「機械的選別法」がある。「逐次選別法」に較べるとパズル的な面白さにはかけるが、この方法でも各自に選別を行うことができる。そのやり方は、まず、つぎのⅠ、Ⅱ、Ⅲ計３回の試行を行なう。
　（Ⅰ）（１、２、３、４）――（５、６、７、８）
　（Ⅱ）（１、２、３、５）――（４、９、10、11）
　（Ⅲ）（１、６、９、12）――（２、５、７、10）
　そして、判定は表２によるのであるが、Ｌ、Ｈ、Ｓの意味は前述下通りである。
　「コイン12枚の問題」のように、贋金が本物より重いか軽いかがわからない場合、Ｎ枚のコインがあって、そのＮの値が　（３ⁿ⁻¹－１）／２≦Ｎ＜（３ⁿ－１）／２　であれば、ｎ回の試行で贋金を確認することが出来る。もし贋金の重さを確認する必要がなければ、Ｎの値が、　（３ⁿ⁻¹－１）／２＜Ｎ≦（３ⁿ－１）／２　の時に、ｎ回の試行で贋金を指摘することが出来る。この場合全く計量されないコインが１枚出来るので、それが贋金の場合は、確認もそれが重いか軽いかの判定はつかないことになる。