焼却された名画７点

 　爺のメールに定期的に「週刊 AFP BB News」から、メールが入ってくる。以下は、これによる記事。
 
　盗難に遭ったピカソらの名作7点、容疑者の母親が「焼却」―― 【7月17日 AFP】オランダ・ロッテルダム（Rotterdam）のクンストハル（Kunsthal）美術館から昨年10月、わずか90秒足らずの間に盗みだされたパブロ・ピカソ（Pablo Picasso）やクロード・モネ（Claude Monet）などの7作品が、容疑者の母親によって燃やされていたことが分かった。ルーマニアの通信社メディアファクス（Mediafax）が16日に伝えた。
 
　今年1月に逮捕されたラドゥ・ドガル（Radu Dogaru）被告の母親は「証拠を隠滅」するため、総額1億ユーロ（約130億円）を超える作品を自宅のかまどで燃やしたと話している。「作品の入ったスーツケースを自宅のかまどに入れた。薪と室内履き、ゴム靴もかまどに入れ、完全に燃え尽きるのを待った」という。
 
　裁判所に提出された書類によると、母親は「非常に深刻なことが起きたと認識しており、息子が逮捕された今年1月以降、とても恐れていた」。5月には捜査員が母親の自宅のかまどの灰を徹底的に調べたと報じられ、絵画が燃やされたのではないかと心配されていたが、それが事実だったことが確認された形になった。
 

















　　被害に遭った作品はピカソの「アルルカンの頭部（Tete d'Arlequin）」、モネの「ウォータールー橋、ロンドン（Waterloo Bridge, London）」、ルシアン・フロイド（Lucian Freud）の「Woman with Eyes Closed」など。「世紀の盗難」と言われるこの事件の裁判は8月に行われる予定だ。  (AFP BB NEWS 2013年07月17日 10:16　発信地:ブカレスト/ルーマニア)

デトロイト市破綻

 　自動車産業の中心として20世紀のアメリカを支えていたミシガン州のデトロイト市が財政破綻をきたし、18日連邦裁判所に破産申し立ての手続きをしたという。ウェブニュスより、
 
　デトロイト市が財政破綻、米地方自治体として過去最大 ―― ［デトロイト　18日　ロイター］ - 米ミシガン州のデトロイト市は18日、連邦破産法９条の適用を申請した。米地方自治体の財政破綻としては過去最大規模となる。／ミシガン州のスナイダー知事（共和党）は、デトロイト市のケビン・オー非常時管理責任者から破産法９条による債権保全申請を承認したとし、「現在の債務からみて十分な歳入を得られておらず、申請をしなければ状況は悪化すると予測される」と指摘した。／知事は３月にオー氏を非常時管理責任者に任命。デトロイト市の長期債務は１８５億ドルと推計されている。／オー氏は６月、債権者に対して債務1ドル当たり0.01ドルを提供する再編案を提示したが、市の退職職員向けの２つの年金基金で主に構成される債権者はこれに難色を示していた。これらの年金基金は、州知事が与えた非常時管理責任者への権限をめぐって、州裁判所に提訴。今後は破産裁判所でも当局と対峙するとみられている。／専門家によると、裁判はコストがかかり１～３年にわたる可能性があるという。　（REUTERS　2013年 07月 19日 07:36 JST）
 
　米デトロイト市が財政破綻：識者はこうみる ―― ［ニューヨーク　18日　ロイター］ - 米ミシガン州のデトロイト市は18日、連邦破産法９条の適用を申請した。米地方自治体の財政破綻としては過去最大規模となる。／市場関係者のコメントは以下の通り。
●他都市の先例に、さらなる破綻も　＜BMOプライベート・バンク（シカゴ）の最高投資責任者、ジャック・アルビン氏＞：大きなサプライズではないが、問題は今後の展開だ。他の自治体の先例となる可能性がある。シカゴやカリフォルニア州の一部都市などについて懸念を抱いている関係者にとっては、デトロイトの破綻をきっかけに、州が自治体への支援を取り下げる傾向が加速する可能性があり、デトロイトほどの規模ではないにせよ、さらなる破綻申請が出る可能性があるということだ。／地方債市場は不動産市場のような面がある。多数の種類が存在し、それぞれかなり異なることから、個人的に地方債市場全体に対する見方は悪化していない。
●多種類の債券処理という点で重要例＜ウエスタン・アセットのポートフォリオ・マネジャー、ロバート・アモデオ氏＞：きっと単独ケースであることを願いたいだろう。市場にとっては予想外なことではないはず。この状況が織り込み済みだと思いたいだろうが、明日の動きを見極める。／異なる種類の債券、担保と無担保、年金関連の支払いなどをどう処理していくのかという意味で重要なケースだ。極めて複雑な状況で、地方債の投資家に注視されることになる。
●債券利回り急上昇にはつながらず＜HJ　SIMSのクレジット分析ディレクター、リチャード・ラーキン氏＞：デトロイトの破綻は2011年１月から予想していたため、驚きはないが、問題解決に向けた取り組みへのミシガン州の関与がなかったことには驚いている。／デトロイトが困難に陥ったことはサプライズではない。大きなサプライズはミシガン州が支援に乗り出さないことだ。そう考えるのは私だけではないだろう。ミシガン州はこれまで、困難に陥った自治体の支援で高い評価を得ていたが、今回は手を差し伸べることを望んでいないようだ。投資家はこれを記憶にとどめるだろう。／しかし、これによって市場に衝撃が走り、債券利回りが急上昇するかというと、そうは思わない。なぜなら大方の人が予想していたためで、（破綻は）すでに市場に織り込まれている。ただ、私が間違っている場合もあるかもしれない。　（REUTERS 2013年 07月 19日 08:11 JST ）

ニホンウナギが消えるかも？

 　今年は７月22日が土用の丑の日である。かつて、兼愛塾の臨海学校で、西伊豆の長松寺で先発隊の準備を終えると、臨海学校参加の生徒を迎えに爺1人で一旦帰京したが、この時の夕食は決まって「うなぎ」を食った。最近ではスーパーでも品薄でうなぎが高騰しているという。量が半減した上に価格は5割り増しになった所もあるという。はてさて、ニホンウナギは今年の夏で見納めになるのか？
　今朝のウェブニュースより、
　ウナギ瀬戸際　それでも食卓へ ―― 国際自然保護連合は今月、ニホンウナギを絶滅危惧種に指定するか検討に入った。国際取引を規制するワシントン条約の議論にも影響する。日本では今、海外種の輸入や完全養殖事業化の動きが進む。我々はどこまでウナギを消費し続けるのだろうか。／　「近い将来、スーパーの店頭からニホンウナギが消えるかもしれない」。今年、ウナギ業界の関係者からこんな声を聞くようになった。／ウナギ自体が消えるというわけではない。資源が枯渇し、相場が高騰しているニホンウナギに代わる新顔が、量販店での「お手ごろなウナギ」の主流になる可能性があるというのだ。／筆頭候補は東南アジアに生息するビカーラ種。既に大手スーパーの店頭にも登場している。ニホンウナギに比べると体長が短く、皮が厚いが、かば焼きになると簡単には見分けがつかない。価格は１尾千円以下。ニホンウナギより500円以上安い。／７月22日は需要のピークの土用の丑（うし）。インドネシアでビカーラ種の養殖・加工を手がけるインダスト（熊本県玉名市）の中川勝也社長は「引き合いは強い。色々な取引先からあるだけすべて欲しいと言われる」と話す。／ビカーラ種の養殖・加工はインドネシア以外に、日本や中国でも始まっている。混乱を避けるため、水産庁は５月、ニホンウナギを原料にした国産かば焼き製品には「ニホンウナギ」と明記するよう通達を出した。
　暑さの盛りの土用の丑にウナギを食べる慣習は商売上の戦略から始まった。ウナギ屋の店主から客足が落ちる夏の集客策を請われた江戸時代の知識人・平賀源内は、丑の日にウのつくウナギを食べる夏バテ対策を提案したといわれる。元来、ウナギの旬は冬眠に向けてエサを食べ込む秋だったのだ。／現在、日本人が食べているウナギは99％以上が養殖物だ。養殖に使う稚魚のシラスウナギは日本の南方2500キロの西マリアナ海域でふ化した後、海流に乗り、冬から春に日本の河川にやってくる。養殖業者はこの時期に捕れたシラスを仕入れ、成魚に育てて出荷する。ビニールハウスでボイラーをたき、エサを大量に与え、自然界では３～10年かかる工程を半年でこなす力業。高値で売れる丑の日に間に合わせるためだ。／1990年代から2000年代前半にかけて、低価格を武器にした中国産の冷凍かば焼きの輸入が急増した。日本でも負けじと大型加工場が次々と建った。大型スーパーやファストフードもお手ごろ価格のウナギを扱い始め、晴れの日の食材だったウナギは、ワンコインで調達できる日常食に様変わりした。
　行き過ぎた商業主義のツケが噴出したのは一昨年だ。需要期の夏を過ぎてもウナギの値段が下がらなくなった。その冬、稚魚が深刻な不漁になるとウナギ相場は高騰した。昨年春には前年同期の２倍になり、ウナギ店の値上げや廃業が相次いだ。／稚魚の不漁は過去の乱獲が原因とみられている。ニホンウナギの後釜と期待されるビカーラ種にしても、資源の状況は未知数だ。ニホンウナギを絶滅の危機に追い込んだ大量漁獲、安値販売を繰り返す愚は何としても避けたい。／ニホンウナギの稚魚を人工的に育てる技術は確立されている。しかし、コストの高さを考えれば天然の稚魚に頼らない養殖の早期実現は非現実的だ。海洋環境の変化により、ニホンウナギの資源が急回復する可能性もなくはないが「それをあてにしてシラスを捕り続けるのは万馬券を狙って原資を減らし続けるようなもの」（北里大学海洋生命科学部の吉永龍起講師）。当たるのが先か、破産が先か。／安いウナギが大量に出回る時代は当分来ないとあきらめた方がいい。今、消費者としてできることは、ウナギを晴れの日の食材として認識し直し、特別な日に、相応の対価を払って食べることだ。ウナギは元来、日常食にはもったいない存在なのである。　（日本経済新聞　7月19日）

遊牧民の巨大碑文発見

　今朝のウェブニュースより
　モンゴルで遊牧民の巨大碑文発見　「我が土地よ、ああ」 ―― ８世紀中ごろのトルコ系遊牧民族「突厥（とっけつ）」の巨大な碑文をモンゴル東部の草原で発見した、と大阪大大学院の大澤孝教授（古代トルコ史）が１６日発表した。中国の隋・唐の各帝国と時に対立し、時に結びながら中央アジアを支配した突厥の国家体制や制度を解明する貴重な史料となりそうだ。／大澤教授とモンゴル科学アカデミー考古学研究所は５月、ウランバートルの南東約400キロにあるデレゲルハーン山近郊のドンゴイン・シレーと呼ばれる遺跡で、それぞれ全長約４メートルと約３メートルの碑文の残片を発見した。計20行、2832文字の古代トルコ文字（突厥文字）が刻まれ、解読の結果、「我が家よ、ああ」「我が土地よ、ああ」など、死者が家族や故郷との別れを惜しむ文面だった。刻まれた部族の紋章から、突厥第２帝国（682～744年）の王家、アシナ氏の一員の墓碑とみられる。／突厥は、中央ユーラシアの遊牧民族で最も古くに独自の言語と文字を残した。著名な３大碑文（ビルゲ可汗〈カガン〉、キョルテギン、トニュクク〕が19世紀末にモンゴル中部で見つかっているが、それらに匹敵する碑文の発見は約120年ぶり。大澤教授は「地中に埋まっている部分に被葬者の生前の事績が記されている可能性がある」と話す。
 








　※　突厥：突厥〔とっけつ、英語ではTürük（テュルク）、トルコ語ではGöktürk（ギョクテュルク）〕は、６世紀に中央ユーラシアに存在したテュルク系遊牧国家。もともとはジュンガル盆地北部からトルファン北方の山麓にかけて住んでいた部族で、柔然〔じゅうぜん、５世紀から６世紀に欠けてモンゴル高原を支配した遊牧国家〕の隷属の下でアルタイ山脈の南麓へ移住させられ鍛鉄奴隷として鉄工に従事したが、552年に柔然から独立すると、部族連合である突厥可汗（ハガン）国（突厥帝国などと呼ばれることもある）を建て、中央ユーラシアの覇者となる。582年には内紛によって東西に分裂した。／６世紀～８世紀半ばにモンゴル高原から中央アジアにかけての地域を支配したテュルク系（トルコ系）遊牧騎馬民族とその国家。突厥という言葉自体がテュルクの音写表記。独自の文字をもっていたことで知られている。／その首長は可汗(ハガン)と呼ばれた。／アルタイ山脈の麓に住んでいて、当初はモンゴル高原に勢力を伸ばした柔然（じゅうぜん）に従属していたが、６世紀中頃から徐々に勢力を強め、有力氏族であった阿史那（あしな）氏の族長土門〔ブミン、？～552ねん〕は同じテュルク系である鉄勒諸部族を服属させると552年柔然の敕連頭兵伐可汗（ちょくれんとうへいはつかがん）阿那瓌〔あなかい、？ - 552年〕を破って独立した。土門は即位して、伊利（イリク）可汗となった。その後三代木杆可汗〔ぼくかんかがん、？～572年〕はモンゴル高原の柔然を滅ぼし、契丹を討ち、キルギスを併せ、ササン朝ペルシャと結んで隣接するエフタルを滅ぼし、大勢力を築き上げた。その領土はモンゴル高原からカスピ海北岸のキプチャク草原に至り、ソグド人などの定住民が居住する中央アジアのオアシス地帯までも支配する大帝国を築き、その支配のもとで中央ユーラシア全域に及ぶテュルク世界の原型が形作られた。／その後、隋の離間策によって東西に分裂した。

 

千代大龍

 　名古屋場所が中日（なかび）を過ぎた。お隣の区である荒川区出身である九重部屋の前頭３枚目の千代大龍に注目していた。何よりもあの醜いテーピングやサポーターのない容姿が気持ちいい。この爺にはあの筋肉マンの化粧回しはちょっくら気に入らないけれど、まあまだ若い躍進中の力士のことだから、目をつぶることにする。
いやはや、白鵬と琴奨菊には破れたものの中日を過ぎての６勝２敗は立派。1988年生まれの24歳というから、順調に成長すれば、綱取りも夢ではあるまい。まあ、この爺がくたばらない内に綱取りを果たしてもらいたいものだ。

　今朝のウェブニュースより
　【大相撲名古屋場所】「狙い通り一発で」千代大龍　またまた大物食い　日馬から金星 ―― 名古屋の土俵に座布団を舞わせた。結びの一番。立ち合い鋭く踏み込んだ千代大龍は、もろ手突きで前進。日馬富士を一気の相撲で退け、春場所に続く金星を奪取した。「狙い通り一発で持っていけた」。何と言っても相手は横綱。喜びもひとしおだ。／馬力が持ち味の２４歳が稀勢の里に続き、またも大物を食った。上位との対戦が多い中日までで６勝は上出来だろう。ぶつかってからの引きで勝負を決める癖も今場所は見られない。日々の鍛錬が自信につながっている。／師匠の九重親方（元横綱千代の富士）に厳命され、毎朝四股とてっぽうを５００回ずつ行っているという。けがをしない体づくりが目的。黙々と基本動作を繰り返し「師匠から怒られることも少なくなった。てっぽうを見てくれたら（一生懸命さが）伝わるのでしょう」という。／簡単に負傷できない理由もできた。婚約者との間に来年１月、第一子が誕生する予定。「家族を養えなくなったらおしまいですから」。けがで万が一連続休場してしまえば、給与が出ない幕下転落もありうる。強靭（きょうじん）な肉体づくりは男としての意地だ。／この勢いを持続させれば、初の三役の座も見えてくる。９日目の琴欧洲戦に向け、「明日も気合を入れて頑張ります」。充実感たっぷりの表情が波乱を予感させる。　　〔msn 産経ニュース　2013.7.14 20:56〕
※　千代大龍秀政（ちよたいりゅう ひでまさ、1988年11月14日）は、東京都荒川区出身で九重部屋所属の現役大相撲力士。身長181cm、体重166kg。本名は明月院 秀政（めいげついん ひでまさ）。最高位は東前頭2枚目（2013年3月場所）、血液型Ａ型。葛飾区立大道中学校、東京都立足立新田高等学校を経て日本体育大学体育学部武道学科に進学。阿武松部屋の大道は中学校の先輩にあたる。2010年国体成年個人優勝、第88代学生横綱という実力を持ち、2011年1月24日に九重部屋に入門した。幕下15枚目格付出の資格を持ち、2011年春場所初土俵予定だったが、大相撲八百長問題のため、３月５日に新弟子検査を受けたが初土俵が延期になった。明月院は５月場所も開催されなければ「親と相談する」とし、力士を断念した場合は教師になる可能性も示唆したが「（相撲を）やめることはしません〕と４月５日に発言している。

 

宝塚市役所の災難

 　昨日の夕刻7時のテレビのNHKニュースで、Ｓ氏在住の宝塚市で、市役所に火炎瓶が投げ込まれたとの報道があった。　早速、携帯でＳ氏にメールしてみた。曰く、「7月12日（金）19:20　題　火炎瓶騒動大変でしたね。／本文: 貼付の写真は今朝5時のものです。／午後7時のニュースで宝塚市役所の火炎瓶騒動を知りました。　日高」
　折り返し、Ｓ氏から電話。ちょうど奥様が用事で市役所に向かわれるところであったそうだ。でも、バス停でニュースを知り、無事現場に遭遇することはなかったとのこと。何より。
　今朝のウェブニュースより

　火炎瓶で市役所ロビーが炎に ５人けが ―― 兵庫県の宝塚市役所で、男がガソリンのような液体が入った火炎瓶を投げ込んで火が燃え広がり、市の職員や役所を訪れていた女性合わせて５人が煙を吸い込んで病院に運ばれました。／男は放火の疑いで逮捕され、「滞納した税金の督促状がきたので腹が立って火炎瓶を投げ込んだ」と供述しているということで、警察が当時の状況や動機を調べています。／12日午前９時40分ごろ、宝塚市役所の１階にある市税収納課付近で、男がガソリンのような液体が入った火炎瓶２本をカウンター越しに次々と投げ込んで火が燃え広がりました。／消防によりますと、市役所の職員と役所を訪れていた市民合わせて600人は屋外に避難し、火は午前10時半過ぎに消し止められましたが、市税収納課の44歳の男性係長ら市の職員４人と役所を訪れていた女性１人の合わせて５人が、煙を吸い込んだり火炎瓶が頭に当たったりしてけがをして病院に運ばれました。／重い症状の人はいないということです。／男は、すぐに現場付近で市の職員に取り押さえられ、放火の疑いで警察に逮捕されました。／逮捕されたのは宝塚市に住む無職、高橋昭治容疑者〔63〕です。／警察によりますと、高橋容疑者は調べに対し、「マンションの固定資産税を滞納していて、督促状がきていたので文句を言いに行った。腹が立って火炎瓶を投げ込んだ」と供述しているということです。
当時、現場にいた市の職員などによりますと、高橋容疑者は「俺の人生むちゃくちゃや。お前らが差し押さえするからこうなったんや。俺の答えはこれや」と叫んで、火炎瓶を投げつけたということです。／警察は、当時の状況や動機を調べています。
　市長「暴力絶対許されない」：宝塚市の中川智子市長は、「火炎瓶が投げ込まれた場所には書類が多かったため、あっという間に燃え広がったと、現場にいた職員から聞いている。職員や市民を守りきれなくてつらい。暴力は絶対許されない。何があったか、しっかり検証していきたい」と話していました。
　市役所きょうの業務取りやめ：宝塚市によりますと、１２日は火災の対応を除いて市役所本庁舎での窓口での業務や事務作業は、すべて取りやめることが決まったということです。  〔NHK NEWS WEB　７月12日 12時29分〕

 

バースカラの業績２ 天文学他

　Brahmagupta（ブラーマグプタ）が7世紀に発展させた天文モデルを使い、Bhāskara（バースカラ）２世は恒星年（地球が太陽の周りを一周するのにかかる時間）の長さを（『Surya Siddhanta（スールヤ・シッダーンタ）』と同じく）365.2588日とするなど、様々な天文学上の量を定義した。現在の測定値は365.2563日で、その差異はたったの3.5分である。
※　今日までに知られているインドで生み出された天文学に関する最初の重要な著作は、Surya Siddhanta〔スールヤ・シッダーンタ、５世紀初め頃に書かれたものか？〕であろうが、現在の人びとには、後の時代の写本でしか知ることができない。
 
　彼の天文学の著書『Siddhānta Shiromani（シッダーンタ・シロマーニ）』は２つの部分からなる。前半は数学的天文学であり、後半は球面を扱っている。
　前半部の12章では、次のような内容を扱っている。
　・惑星の平均経度、　・惑星の真の経度、　・日周運動の3つの問題 、　・惑星直列、　・月食
　・日食、　・惑星の緯度　・出没方程式 、　・月の満ち欠け、　・2つの惑星の合　・惑星と恒星の合
 
　後半は球面に関する13章からなる。次のような内容を扱っている。
　・球面の研究への賛辞、　・球面の性質、　・宇宙誌と地理学、　・惑星の平均運行速度
　・惑星の離心周転円モデル、　・天球儀、　・球面三角法、　・楕円の計算、　・惑星の可視性
　・月の満ち欠けの計算、　・天文用器具、　・季節、　・天文計算の問題
 
　1150年、Bhāskara（バースカラ）２世は永久に回り続ける車輪について記述しており、永久機関の古い例の1つとなっている。
　Bhāskara（バースカラ）２世は Yasti―yantra と呼ばれる測定器具を使っていた。単純な棒状になったり、V字型に変形させたりでき、定規と組み合わせて角度を測るのに主に使ったという。（左図参照）

バースカラの業績１ 数学

 　Bhāskara２世の数学への貢献には、以下のようなものがある。
・　ピタゴラスの定理の証明。同じ領域の面積を２種類の方法で計算し、項を相殺させて消すことで
 ａ² ＋ ｂ² ＝ ｃ² という式を導いた。 （左図参照）
・　『Lilāvati（リーラーヴァティ）』において、二次方程式、三次方程式、四次方程式の解を示した。
・　線形および二次の方程式で整数解を求める方法（クッタカ法）。17世紀ルネサンス期のヨーロッパの数学者と同じ方法である。
・　ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝ｙ　という形式の方程式を解くChakravala（チャクラバーラ）法 。この方程式は1657年にWilliam Brouncker〔ウィリアム・ブラウンカー、1620？～1684年、イングランド人数学者、医師〕が解いたとされていたが、彼の方法はChakravala（チャクラバーラ）法よりも複雑だった。
・　ペル方程式と呼ばれるｘ²− ｎｙ²＝１ という形式の方程式の整数解を求める方法を示した。
・　61ｘ² ＋ １ ＝ ｙ² のような二次のディオファントス方程式の解法。この方程式は1657年、フランスの数学者Pierre de Fermat〔ピエール・ド・フェルマー、1607年末または1608年初頭～1665年、フランスの数学者。「数論の父」とも呼ばれる。ただし、職業は弁護士であり、数学は余暇に行ったものであるという〕が問題として提示したが、ヨーロッパでこの解法を明らかにしたのはLeonhard Euler〔レオンハルト・オイラー, 1707～1783年、数学者・物理学者であり、天文学者（天体物理学者）〕で18世紀になってからのことである。
・　変数が複数ある二次方程式を解き、負数と無理数の解を発見した。
・　解析学の基本概念。
・　微分法の基本概念と積分法の元となる貢献。導関数と微分係数を発見。平均値の定理の特殊な場合であるロルの定理を発見。平均値の定理と思われる記述も著作の中に見つかっている。
　※　ロルの定理(Rolle's theorem、左図参照) は1691年にフランスの数学者Michel Rolle (ミシェル・ロル、1652～1719年)が著書の「代数学」(Traite d'algebre) で発表されたためにロルの名がついているが、Isaac Newton〔アイザック　ニュートン、1642～1727年〕やGottfried Leibniz〔ゴットフリート　ライプニッツ、 1646～1716年〕によって微分が発見されるより前の12世紀にインドの天文学者バスカラが同様の定理を述べたとされる。
・　三角関数の導関数を計算。
・　『Siddhānta Shiromani（シッダーンタ・シロマーニ）』の中で、いくつかの三角法と共に球面三角法を展開している。
 
Bhāskara（バースカラ）２世の算術についての著書『Lilāvati（リーラーヴァティ）』は、定義、算術用語、利子計算、算術級数と幾何級数、平面幾何学、立体幾何学、日時計の影、不変方程式の解法、組合せなどを扱っている。
　『Lilāvati（リーラーヴァティ）』は13章からなり、算術だけでなく代数学や幾何学も扱い、一部は三角法や求積法を扱っている。具体的には、次のような内容がある。
・　定義
・　ゼロの性質（除法を含むゼロの演算規則）
・　その他の数に関すること。負数や無理数（冪根）を含む。
・　円周率の近似値。
・　算術。乗法や平方など。
・　利子計算に関する問題。
・　算術級数と幾何級数。
・　平面の幾何学。
・　立体の幾何学。
・　組合せ数学（順列と組合せ）。
・　線型および二次の不定方程式の整数解の求め方（クッタカ）。これについては、17世紀ルネサンス期のヨーロッパの数学者と同じ解法を示しており、非常に重要である。バースカラ２世の解法は、アリヤバータなど先人の成果に基づくものだった。
彼の著書は体系化、解法の改善、新たな問題の導入などの点が優れている。さらに『Lilāvati（リーラーヴァティ）』には素晴らしい例題もあり、バースカラ２世は『Lilāvati（リーラーヴァティ）』で学ぶ学生にその内容を具体的に役立てて欲しいと意図していたとも思われる。
 
　『Bijaganita（ビージャガニタ）』（代数学）は12章からなる。正の数に（正と負の）２つの平方根があることを初めて示した文書である。次のような内容を含む。
・正数と負数、　・ゼロ、　・未知数、　・未知の数量の決定、　・冪根と無理数、
・クッタカ法（不定方程式およびディオファントス方程式の解法）、　・単純な方程式（二次、三次、四次）
・複数の変数のある単純な方程式、　・不定二次方程式〔ａｘ² ＋ ｂ = ｙ² という形式のもの〕
・二次、三次、四次の不定方程式の解法、　・二次方程式、　・複数の変数のある二次方程式
・複数の変数の積の操作
　Bhāskara（バースカラ）２世は ａｘ² ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ｙ という形式の不定二次方程式の解法としてChakravala（チャクラバーラ）法を導き出した。ペル方程式と呼ばれる Ｎｘ² ＋ １ ＝ ｙ² という形式の問題の整数解を求めるBhāskara（バースカラ）２世の方法も重要である（こちらもChakravala法）という。
 
　『Siddhānta Shiromani（シッダーンタ・シロマーニ）』〔1150年〕では、三角法を扱っており、正弦関数の数表や各種三角関数の関係も記している。また、いくつかの興味深い三角法に混じって球面三角法も発見している。Bhāskara（バースカラ）２世以前のインドの数学者は三角法を計算の道具としか見ていなかったが、Bhāskara２世自身は三角法に大きな興味を持っていたように思われる。三角関数の加法定理〔左図参照〕といわれる　 sin（α＋β） や sin（α－ β） なども扱っている。

バースカラ

 　Bhāskara（バースカラ、1114～1185年）は、インドの数学者で天文学者。7世紀の数学者Bhāskara１世と区別するためBhaskara （バースカラ）２世またはBhaskara Achārya（バースカラ・アチャリア、バースカラ先生の意）とも呼ばれる。南インドの現在のKarnataka（カルナータカ）州〔左図参照〕Bijapua「ビジャープラ」県にあたる Bijjada Bida でバラモン階級の家に生まれる。当時のインド数学の中心地であったUjjain 〔ウッジャイン、昨日のブログの地図参照〕 の天文台の天文台長を務めた。前任者には、Brahmagupta（ブラーマグプタ）やVarahamihira（ヴァラーハミヒラ）がいる。西ガーツ山脈地方に住んでいた。
　代々、宮廷学者の地位を世襲しており、Bhāskara（バースカラ）の息子やその子孫もその地位を継承していることが記録に残っている。父 Mahesvara（マヘーシュヴァラ）は占星術師で、Bhāskara（バースカラ）に数学を教え、Bhāskara（バースカラ）はそれを息子 Loksamudra に継承させた。Loksamudra の息子は1207年に学校設立を助け、そこでBhāskara（バースカラ）の書いた文書の研究を行った。
 
　Bhāskara（バースカラ）は、12世紀の数学および天文学の発展に大きな業績を残した。主な著書として、『Lilavati 〔リーラーヴァティ、主に算術を扱っている〕』、『Bijaganita 〔ビージャガニタ、代数学〕』、『Siddhānta Shiromani 〔シッダーンタ・シロマーニ、1150年〕』がある。『Siddhānta Shiromani〔シッダーンタ・シロマーニ〕』は Goladhyaya（球面）と Grahaganita（惑星の数学）の２部構成になっている。
 
　Bhāskara（バースカラ）２世の算術の本は、彼の娘Lilāvati（リーラーヴァティ）のために書かれたという伝説がある。ペルシア語版の『Lilāvati（リーラーヴァティ）』に書かれていた物語は、Bhāskara２世がLilāvatiのhoroscope（ホロスコープ）を研究して占ってみたところ、娘がある特定の時刻に結婚しないと彼女の夫が結婚後間もなく死ぬとでた、というものである。娘にその正しい時刻を警告するため、Bhāskara２世破水の入った容器を置き、その上に底に小さな穴の開いたカップを浮かべ、ちょうどよい時刻にカップが沈むように設定した。そして、Lilāvati（リーラーヴァティ）にはそれに近づかないよう警告した。しかし娘は奇妙に思ってそれを覗き込み、鼻につけていた真珠がカップに落ち、沈み方が変わってしまった。そのため、結婚が間違った時間に執り行われ、彼女は間もなく未亡人となったという。
※　ホロスコープ（horoscope、チャート）は占星術における各個人を占うための天体の配置図。惑星、黄道十二宮、十二室、角度の4つの要素で構成される。
 
　Bhāskara（バースカラ）２世は、有限の数をゼロで割ると（ゼロ除算）無限大になるという近代的な数学と同じ考え方をしていた。

 

プラマグプタ

　 Brahmagupta（ブラーマグプタ、598～668年?）はインドの数学者・天文学者。「ブラマグプタ」とも発音される。その著作は、イスラーム世界やヨーロッパにインド数学や天文学を伝える役割を果たした。


　彼の生涯についてはよく分かっていないが、現在のインド中央部に位置する、Ujjain〔ウッジャイン、左図参照〕という町で暮らし、そこにあった天文台の天文台長であったことが知られている。彼の父親は有名な占星術師だった。


　628年に、総合的な数理天文書『Brahmasphutasiddhanta〔ブラーマ・スプタ・シッダーンタ、「宇宙の始まり」という意味〕』を著した。この中の数章で数学が扱われており、第12章はGanita〔ガニタ、算術〕、第18章はkuttaka〔クッタカ、代数〕にあてられている。Kuttaka（クッタカ）という語は、もとは「粉々に砕く」という意味だったが、のちに係数の値を小さくしてゆく逐次過程の方法を意味するようになり、代数の中で不定解析を表すようになった。この書では、 0 と負の数にも触れていて、その算法は現代の考え方に近い（ただし 0 ÷ 0 ＝ 0 と定義している点は現代と異なっている）。Brahmagupta（ブラーマグプタ）の問題と呼ばれる二次不定方程式（ｘ²－ 92ｙ² ＝ 1）の最小整数解〔ｘ ＝ 1151, 　y ＝ 120〕も同書で示している。また、665年に著した天文書『カンダ・カードヤカ』では、三角法をVarahamihira〔ヴァラーハミヒラ、505～587年、古代インドの天文学者、占星術師〕の時代からさらに発展させた。
 
　Brahmagupta（ブラーマグプタ）が見いだしたものは他にもある。Brahmagupta（ブラーマグプタ）の公式と呼ばれる式がその一つである。円の内接四角形の面積を求めるその式は、Heron（ヘロン）の公式を内包している。２つの公式の関係は、ちょうど余弦定理がPythagoras（ピタゴラス）の定理を内包しているのに似ている。（左図参照、証明は各自試みられよ）
 

　同じく円に内接する四角形に関するもので、Brahmagupta（ブラーマグプタ）の定理もある。対角線が直交する場合に、その交点から1つの辺への垂線の延長が対辺を二等分するというものである。（左図参照）
 
　Brahmagupta（ブラーマグプタ）の二平方恒等式と呼ばれる式もある。2つの平方数の和で表される2つの数の積が、2つの平方数の和で表せる事を示す式である。
　（a² ＋ b²）（c² ＋ d²） ＝ 〔ac －　bd）² ＋ （ad ＋ bc）² ＝ （ac ＋ bd）² ＋ （ad － bc）²
　この等式は、Leonardo Fibonacci〔レオナルド・フィボナッチ、1170？～1250年？頃、中世で最も才能があったと評価されるイタリアの数学者〕が彼の著書に書いたことでFibonacci（フィボナッチ）の二平方恒等式とも呼ばれる。先に挙げた３世紀の数学者Diophantus（ディオファントス）もこの恒等式を知っていたと見られる。先のBrahmagupta（ブラーマグプタ）の公式とHeron（ヘロン）の公式の関係のように、このの二平方恒等式はLeonhard Euler〔レオンハルト・オイラー、 1707～1783年、スイスの数学者・物理学者であり、天文学者（天体物理学者）〕四平方恒等式に拡張される。