小町算 3

 　「100作り」のほかにも数字を勢揃いさせる問題は、いろいろの種類がある。
　左の図１に挙げたのは０～９で、分数の和として１を作る問題の解である。
 

　１～９までの数で、仮分数を作り、それで２から順に数を表わしていくもので、DudeneyのAmusements in mathematics〔娯楽数学、1917年〕には“Digital division”の名で1/2～1/9までを表わすもので、分母子が最小の解を求める問題が載っている。
　6729／13458＝１／２　　　582３／17469＝１／３
　3924／15768＝１／４　　　269７／13485＝１／５
　2934／17658＝１／６　　　239４／16758＝１／７
　3187／25496＝１／８　　　6381／57429＝１／９
　この辺（あた）りがこの種の問題の初めと思われる。しかし、現在ではふつう、この分母子を逆にした仮分数の形で扱っている。
　２＝13458／6729＝13584／6792＝14538／7269＝18534／9267
　３＝17469／5823＝17496／5832　　などである。
 
　等式の左右両辺合わせて０～９または１～９の数字が１回ずつ現れるもののうち、右辺が１項のものは会の数が少ないこともあって興味深い。１～９で
　　○×○○○○＝○○○○　　　○○×○○○＝○○○○　の型に成るものは次の９通りである。
　　４×1738＝6952　　　４×1963＝7852　　　12×483＝5796
　　27×198＝5346　　　 39×186＝7254　　　 48×159＝7632
　　18×297＝5346　　　　28×157＝4396　　　　42×138＝5796
 
　乗算ではなく加算についても同様な問題が作れる。１～９で
　　○○○＋○○○＝○○○　　となる型のものは基本解が42通りあり、和が最小のものと最大のものは
　最小のもの　173＋286＝459　　　最大のものは　324＋657＝981　となる。
また、０～９で　○○○＋○○○＝○○○○　となる方のものの基本解は12通りあり、和が
　最小のものは　589＋437＝1023　であり、最大のものは　859＋743＝1602　となる。
 
　この他にも＋の位置や個数が異なる色々な型があるが、次に０～９を使ったものの例を示しておく。
　26＋4987＝5013　　　２＋46＋987＝1035　　　１＋204＋758＝963
　10＋34＋685＝729　　１＋43＋65＋98＝207　　１＋２＋48＋579＝630
　４＋５＋16＋27＋38＝90　　　　　２＋３＋４＋75＋96＝180
　１＋３＋５＋６＋27＋48＝90　　　１＋２＋３＋４＋５＋７＋68＝90
 
　また、小町数を表わす問題では、自乗数が小町数になるようなものを探す問題が有名である。これには30通りの解があるが、その最小のものは　11826²＝139854276　であり、
　　　　　　　　　　　最大のものは　30384²＝923187456　である。
 
　最後に、０～９までの数字が２度ずつ現れる完全虫食算（図２）を出しておく。これは虫食い算の中でも難問とされているもので、解答は１通りしかない。ぜひ挑戦されたし。