アルキメデスの業績３ アルキメデスの螺旋

 　Archimedes（アルキメデス）の螺旋〔Archimedes' spiral〕は極座標の方程式 r＝aθ によって表される曲線である。等間隔の渦巻きである。 aが負の場合も含めると、y軸に対して線対称となる。
　われわれの身の回りには、蚊取り線香やデンデン虫の殻、鳴戸巻きカマボコの渦など、様々な螺旋がある。Archimedesの螺旋というのはいちばん一般的な螺旋である。数学的にはつぎのようにして作られる螺旋である。
＜平面上で、その端の点Oのまわりに半直線 ℓ が定速で回転するとき、ℓ 上を点Ｏから等速で遠ざかっていく点Ｐの動いたあと。＞
　一定速度ω[rad/s]で回転する円盤上を点Pが中心から半径方向へ一定速度v [m/s]で移動する場合を想定する。このとき、円盤の外から眺めた点Pの軌跡はどう表されるであろうか。円盤の回転角はθ=ωt [rad]であり、そのとき点Pは円盤の中心からvt [m]だけ移動している。従って、円盤の中心Oから点Pまでの距離r [m]と回転角θの関係は、vとωの比をaとして式(1.1)で表される。（左図）
　この曲線は、原点Oから点Pまでの距離r が位相角θに比例する曲線で、spiral of Archimedes〔アルキメデスの螺線〕と呼ばれている。
　アルキメデス螺旋について、「動径が１回転して通過する図形の面積（左図の青い部分）は、１回転目の動径を半径とする円の面積の３分の１である」という興味ある事実がある。