魔法陣 ３

 　魔法陣を切り抜いて縦方向または横方向に丸めて円柱形にした時、対角線に平行なマス目の数を足しても、合計数が一致しているものを完全方陣という。
 
　左図は四次の完全方陣であるが、１、11、16、６の対角線に平行なマス目の数の和はすべて同じで、
　１＋11＋16＋６＝８＋５＋９＋12＝10＋４＋７＋13＝15＋14＋２＋３＝34　となるし、
12、２、５､15の対角線に平行なマス目の数の和もすべて同じで、
　12＋２＋５＋15＝7＋11＋10＋６＝14＋８＋３＋９＝１＋13＋16＋４＝34　となっている。
　なお、完全四次方陣では円柱形に丸めた、どの１点を取ってもこれを共有する４つの数はすべて等しく３４になる。
 
　左図は五次の完全方陣であるが、対角線に平行な目の数の和は（対角線上の組を含めて全部で10組ある）はどこも65となって等しくなっている。
　10＋16＋23＋２＋14＝13＋７＋19＋25＋１＝４＋15＋６＋18＋22＝……＝65
　１＋９＋23＋15＋17＝18＋５＋７＋21＋14＝12＋16＋４＋８＋25＝……＝65
 
　左図は、親子方陣とか外加方陣などと呼ばれるもので、それぞれ太線で描いたうち枠の中だけでも魔法陣が成立している。つまり、七方陣（黒線の中）でもあり、五方陣（青線の中）でもあり、三方陣（赤線の中）でもあるというものである。
 

　左図は１～32の自然数で２種類の魔法陣ＡとＢができている。定和はいずれも66であり、一つの交点を共有して隣接する４数の和はどこも66になっている。
　それだけでなく、Ａの四隅の数字（１、28、31、６→合計66）と、Ｂの四隅の数字（９、20、14、23→合計66）との間には密接な関係がある。というのは、一方の隣り合う２数の変わりにもう一方の同じ位置にある２数を持ってきてもやはり和は66になり、変わらない。たとえば、１、31の代わりに９、23を入れても、Ａの四隅の和は66のままである。また、Ａの隣り合う４数、たとえば４、31、26、５（合計66）のうち、縦方向の２数（たとえば４と31）を除き、代わりにＢと同じ位置にある２数（このれいでは12と23）をもってきても、和は66でかわらない。
　この秘密は、Ｂの各数の構成にあり、ＢをＢ´のようにかきなおしてＡと比較してみると、その仕組みがよく判る。